Egyenlőtlenségek megoldása két lépésben

Van egy egyenlőtlenségünk: 2/3 nagyobb, mint -4y mínusz 8 egész 1/3. Az első, amit szeretnék – mivel a vegyes törtek zavarnak, elég kellemetlen velük dolgozni, egyszerűbb rá úgy gondolni, hogy kicsit több, mint 8 –, hogy váltsuk át egy közönséges törtté! 8 egész 1/3 egyenlő – a nevező 3 lesz – 3-szor 8 az 24, plusz 1 az 25, vagyis ez ugyanaz, mint 25/3. Hadd írjam le újra az egészet, tehát 2/3 > -4y - 25/3. A következő, amit szeretnék – mivel törtekkel kicsit nehezebb dolgozni –, hogy megszorzom mindkét oldalát az egyenlőtlenségnek valamennyivel, ami eltünteti a törtet. A legegyszerűbb, ami eszembe jut, hogy megszorzom mindkét oldalt 3-mal. Ez majd kiejti a 3-akat a nevezőben. Tehát szorozzuk meg az egyenlőtlenség mindkét oldalát 3-mal, ez a bal oldal, és utána megszorzom a jobb oldalt. 3-szor, ezt így zárójelbe teszem. Az egyik dolog, amit ki szeretnék emelni az, hogy nem kell megfordítanom a relációs jelet, mert mindkét oldalt pozitív számmal szoroztam meg. Ha a 3 negatív szám lett volna, ha mindkét oldalt (-3)-mal szoroztam volna vagy (-1)-gyel, vagy bármi negatívval, akkor meg kellett volna fordítanom a relációs jelet. Egyszerűsítsük ezt, a bal oldalon 3-szor 2/3 van, ami 2. 2 nagyobb, mint és most beszorzunk 3-mal, 3 · (-4y) = -12y, és 3 · (-25/3) az egyszerűen -25. Most rendezni szeretnénk az összes konstanst az egyenlőtlenség egyik oldalára, és az összes változót – az egyetlen változó a másik oldalon y – az y már itt van, szóval csak vigyük át ezt a 25-öt az egyenlőtlenség másik oldalára. Ezt megtehetjük úgy, hogy hozzáadunk 25-öt az egyenlőtlenség mindkét oldalához. Adjunk hozzá 25-öt az egyenlőtlenség mindkét oldalához! Hozzáadunk 25-öt, így a bal oldalon 2 + 25 = 27 lesz, és azt kapjuk, hogy 27 nagyobb, mint az egyenlőtlenség jobb oldalán lévő -12y, és a -25 + 25 kiejtik egymást, ez volt a célunk, tehát maradt 27, ami nagyobb, mint -12y. Ahhoz, hogy y-ra rendezd, megszorozhatod mindkét oldalt (-1/12)-del, vagy azt is mondhatod, hogy osszuk el mindkét oldalt (-12)-vel. Mivel itt most negatív számmal szorzok vagy osztok, meg kell majd fordítanom a relációs jelet. Hadd írjam le ezt. Ha osztom az egyenlőtlenség mindkét oldalát (-12)-vel, akkor ez 27/(-12) lesz, ami kevesebb, mint – megcseréltem a relációs jelet, hadd írjam ezt egy másik színnel – tehát kevesebb, mint (-12y)/(-12). Ne feledd, amikor osztottam az egyenlőtlenség mindkét oldalát egy negatív számmal, megfordítottam a relációs jelet, a nagyobb helyett kisebb lett. Amikor ez pozitív volt, nem kellett megfordítanom. 27 osztva -12-vel, mivel mindkét szám osztható 3-mal, tehát, ha leosztjuk a számlálót is és a nevezőt is 3-mal, akkor -9/4 lesz, ami kisebb, mint – ezek kiütik egymást – y. Vagyis y nagyobb, mint -9/4, vagy -9/4 kisebb, mint y. Ha ezt szeretnéd írni – írjuk csak le – a megoldás az, hogy y > -9/4, csak megcseréltem a sorrendet, azt is mondhatod, hogy -9/4 < y. Ha még egy kicsit jobban szeretnéd ezt látni, 9/4 az 2 egész és 1/4, tehát azt is mondhatjuk, hogy y nagyobb, mint -2 egész 1/4, ha vegyes törtként szeretnénk megadni. Ha pedig ábrázolni szeretnénk a számegyenesen – hadd rajzoljak ide egy számegyenest, csak egy egyszerűt –, legyen ez a 0, -2 itt van, mondjuk -1, -2, és mondjuk itt a -3. -2 egész 1/4 pont itt lesz, ennél nagyobb kell, tehát ez nem tartozik bele a megoldások halmazába, így ide egy üres karikát teszünk, és minden nála nagyobb jó y, vagyis olyan y, ami kielégíti az egyenlőtlenséget.