Egyenlőtlenségek megoldása több lépésben

Oldjunk még meg néhány példát, amelyek összefoglalják azokat az fogalmakat, amiket az előző két videóban tanultunk. Legyen az egyenlőtlenségünk az, hogy 4x + 3 kisebb, mint -1. Keressük meg az összes olyan x-et, amely ennek megfelel! Az első dolog, amit szeretnék, hogy eltüntetem ezt a hármast, úgyhogy vonjunk ki 3-at az egyenlőtlenség mindkét oldalából. Így a bal oldalon csak a 4x marad. Ezek a hármasok kiejtik egymást, ennek 0 lesz az eredménye. Még nincs miért megváltoztatni az egyenlőtlenség irányát, ha csak hozzáadunk és kivonunk mindkét oldalból. Jelen esetben kivonunk. Ez nem változtatja meg az egyenlőtlenséget irányát addig, amíg ugyanazt az értéket vonjuk ki. Itt van -1 - 3, ez -4, -1 -3 = -4. Aztán – lássuk csak –, el tudjuk osztani az egyenlőtlenség mindkét oldalát 4-gyel. Még egyszer, amikor pozitív számmal szorzod vagy osztod az egyenlőtlenség mindkét oldalát, az nem változtatja meg az egyenlőtlenség irányát. Tehát a bal oldalon csak az x marad. x kisebb, mint -4 osztva 4-gyel, ami -1. x kisebb, mint -1. Vagy leírhatjuk intervallum jelöléssel. Az összes x mínusz végtelen és -1 közé esik, de ebbe nem tartozik bele a -1, ezért ide kerek zárójelet teszünk. Magyar jelölés szerint: ]-∞, -1[ Csináljunk egy picit nehezebbet! Legyen 5x nagyobb, mint 8x + 27. Vigyük az összes x-et a bal oldalra! Ennek az a legegyszerűbb módja, ha kivonunk 8x-et mindkét oldalból. Tehát kivonunk 8x-et mindkét oldalból. A bal oldalon 5x - 8x lesz, az -3x. Még mindig > jelünk van. Csak hozzáadjuk vagy kivonjuk ugyanazokat az értékeket mindkét oldalon. A x-ek kiesnek, így marad a 27. Tehát 3x nagyobb, mint 27. Ahhoz, hogy itt csak x maradjon, el kell osztanunk mindkét oldalt -3-mal. De ne feledd, ha negatív számmal szorzod vagy osztod egy egyenlőtlenség mindkét oldalát, megfordul az egyenlőtlenség iránya. Tehát ha mindkét oldalt -3-mal osztjuk, meg kell fordítanunk az egyenlőtlenség irányát. A > relációs jel <-re változik. Én úgy tartom észben a nagyobb jelet, hogy a bal oldal nagyobbnak látszik. Ez a nagyobb, mint. Ha megnézed ezt a magasságot, az nagyobb, mint ez a magasság itt, ami csak egy pont. Remélem, ez nem zavar össze. Ez a kisebb, mint. Ez a kis pont kisebb, mint ennek a nagy nyílásnak a távolsága. Én így jegyzem meg. Visszatérve, 3x-ben a -3. Most, hogy mindkét oldalt negatív számmal osztottuk, -3-mal, meg kell fordítanunk az egyenlőtlenség irányát nagyobb, mint-ről kisebb mint-re. A bal oldalon a -3 kiesik. Azt kapjuk, hogy x kisebb, mint 27-ben a -3, ami -9. Vagy intervallum jelöléssel, lehet bármi a mínusz végtelentől -9-ig, a -9 nem tartozik bele. Ha számegyenesen szeretnéd ábrázolni, így nézne ki. Ez lenne a -9. ez lehetne a -8, ez lehetne a -10. -9-től indulnánk, de az nem tartozik bele, mivel nincs egyenlőségjel, minden benne van, ami kisebb ennél, egészen, ahogy látjuk, a mínusz végtelenig. Csináljunk most egy jó nehéz feladatot! Legyen mondjuk 8x - 5・(4x + 1) nagyobb vagy egyenlő, mint -1 + 2・(4x - 3). Nagyon ijesztőnek tűnhet, de ha egyszerűbb alakra hozzuk lépésenként, látni fogod, hogy nem nehezebb, mint bármelyik másik feladat, amit eddig megoldottunk. Végezzük el a kijelölt műveleteket! Van 8x, aztán -5-tel szorzunk, tehát 8x, aztán felbontjuk a zárójelet, szorzunk a -5-tel. -5-ször 4x = -20x, -5-ször – amikor azt mondom, hogy -5-ször, akkor ezt az egész dolgot értem – -5-ször 1 egyenlő -5, és ez nagyobb vagy egyenlő lesz, mint -1, plusz 2-szer 4x egyenlő 8x, 2-szer -3 egyenlő -6. Most összevonhatjuk ezt a két kifejezést, 8x - 20x az -12x, ebből 5 nagyobb vagy egyenlő – összevonhatjuk ezeket a konstansokat, -1 - 6 az -7, és itt van még plusz 8x. Én szeretem az összes x-et tartalmazó tagot a bal oldalra rendezni, úgyhogy vonjunk ki 8x-et az egyenlőtlenség mindkét oldalából. Kivonok 8x-et. Ez a bal oldal, -12 - 8, ami -20, -20x mínusz 5. Ismétlem, még nincs miért megfordítani az egyenlőtlenség irányát. Annyit teszünk, hogy elvégezzük a műveleteket mindkét oldalon, illetve hozzáadunk vagy kivonunk belőlük. A jobb oldalon lesz – ez kiesik, 8x mínusz 8x az 0, tehát maradt a -7. És most el akarom tüntetni ezt a -5-öt, úgyhogy adjunk hozzá 5-öt az egyenlet mindkét oldalához. A bal oldalon csak -20x maradt, ezek az ötösök kiesnek. Még nincs okunk megfordítani az egyenlőtlenség irányát. -7 + 5 egyenlő -2-vel. Most egy érdekes ponthoz érkeztünk. -20x nagyobb vagy egyenlő, mint -2. Ha ez egy egyenlet lenne, vagy akkor is, ha egyenlőtlenség, akkor el akarnánk osztani mindkét oldalt -20-szal. De ne feledd, ha szorzod vagy osztod egy egyenlőtlenség mindkét oldalát egy negatív számmal, meg kell fordítani az egyenlőtlenség irányát. Ezt ne felejtsd el! Így ha elosztjuk ezt az oldalt -20-szal, és ezt az oldalt is elosztjuk -20-szal, – annyit csináltam, hogy mindkét oldalt elosztottam -20-szal – akkor meg kell fordítanunk az egyenlőtlenség irányát. A nagyobb vagy egyenlőből kisebb vagy egyenlő lesz. Természetesen ezeknek a hányadosa 1, és azt kapjuk, hogy x kisebb vagy egyenlő mint – a mínusz eltűnik – 2/20, ami 1/10. Ha intervallum jelöléssel jelenítenénk meg, a felső határ 1/10 lenne. Figyelj, hogy ezt is belevesszük, mivel van egyenlőségjelünk, kisebb vagy egyenlő, így benne van az 1/10 is, és haladunk tovább a mínusz végtelen felé, minden, ami kisebb vagy egyenlő, mint 1/10. Magyar jelölés szerint: ]-∞, -1/10[ Ez csak egy másik írásmód. Csak szórakozásból rajzoljuk meg a számegyenest! Rajzoljunk ide egy számegyenest! Ez lehet a 0, ez az 1, az 1/10 valahol itt lehet. Minden, ami kisebb vagy egyenlő. mint 1/10. Tehát belevesszük az 1/10-et is, és mindent, ami ennél kisebb, ezek vannak benne a megoldáshalmazban. És kipróbálhatsz bármely értéket ami kisebb, mint 1/10, és ellenőrizheted, hogy megfelel-e ennek az egyenlőtlenségnek.