Mindkét oldalon ismeretlent tartalmazó egyenlőtlenségek (zárójellel)

Mely x-ekre teljesül, hogy 5x + 7 > 3·(x+1) Próbáljuk x-et az egyenlőtlenség egyik oldalára rendezni, de mielőtt megtesszük, egyszerűsítsük a jobb oldalt. Van itt 5x + 7, ami nagyobb, mint – szorozzunk be ezzel a 3-mal, 3 · (x+1) az ugyanaz, mint 3 · x + 3 · 1, tehát ez 3x meg 3·1, ami 3 lesz. Ha az x-et a bal oldalra akarjuk rendezni, kivonhatunk 3x-et mindkét oldalból, ez kiejti ezt a 3x-et a jobb oldalon. Tegyük meg! Vonjunk ki 3x-et mindkét oldalból, így a bal oldalon az kapjuk, hogy 5x-ből 3x az 2x, plusz 7 nagyobb, mint – 3x-ből 3x, ezek kiejtik egymást, ez volt az egész 3x mindkét oldalról való kivonásának lényege – nagyobb, mint 3. Most kivonhatunk mindkét oldalból 7-et, hogy megszabaduljunk ettől a +7-től itt. Vonjunk ki 7-et mindkét oldalból, így a bal oldalon azt kapjuk, hogy 2x + 7 - 7, ami egyszerűen 2x, ami nagyobb, mint 3 - 7, ami -4. Lássuk csak, marad az, hogy 2x nagyobb, mint -4. Ha csak 1x-et szeretnénk itt, akkor eloszthatjuk mindkét oldalt 2-vel. Mivel a 2 pozitív szám, nem kell megfordítanunk a relációs jelet. Osszuk el mindkét oldalt 2-vel, így az kapjuk, hogy x nagyobb, mint -4 osztva 2-vel, ami -2. Tehát a megoldás így fog kinézni. Rajzoljunk egy számegyenest! Ennél egyenesebb számegyenest is tudok, tessék, még mindig nem az igazi, de a céljainknak megfelel. Mondjuk ez -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. x > -2, ebbe nem tartozik bele a -2, vagyis nem nagyobb vagy egyenlő -2-nél, tehát a -2-t ki kell hagynunk. Kihagyjuk a -2-t azzal, hogy egy üres karikát rajzolunk a -2-höz, de minden ennél nagyobb érték megfelelő x-nek, teljesíti, kielégíti az egyenlőtlenséget. Tehát bármi, ami nagyobb, bármely nagyobb érték jó megoldás lesz. Próbáljuk ki, ellenőrizzük valamire, amire teljesülnie kellene az egyenlőtlenségnek, majd próbáljunk ki egy olyan számot, amire nem szabad teljesüljön. A 0-nak jónak kell lenni, hiszen ez nagyobb, mint -2, itt van. Ellenőrizzük ezt! 5 · 0 + 7 nagyobb kell, hogy legyen, mint 3 · (0 + 1). Ez itt 7 – mivel ez egyszerűen 0 –, 7 nagyobb kell, hogy legyen 3-nál. Igaz? 3 · 1-nél. 7 nagyobb kell, hogy legyen, mint 3, és ez nyilván így van. Most próbáljunk ki egy számot, ami nem megoldás, nézzük meg a -3-at. 5 · (-3) + 7, nézzük csak, hogy nagyobb-e, mint 3 · (-3 + 1). Ez itt -15 + 7, ami -8, ez itt -8. Nézzük meg, hogy ez nagyobb-e, mint -3 + 1 = -2 szorozva 3-mal, ami -6. -8 nem nagyobb, mint -6. -8 határozottan kisebb, mint -6. Vagyis jó, hogy a -3 nem teljesítette az egyenlőtlenséget, mert nem tartozott bele a megoldáshalmazunkba. Behelyettesítettünk valamit a megoldáshalmazunkból és kielégítette az egyenlőtlenséget, és valamit, ami nem volt benne és az nem elégítette ki az egyenlőtlenséget. Ez nagyon jó érzés.