Zárójelfelbontás változókkal

Az a feladatunk, hogy felbontsuk a zárójelet. Itt van 1/2-szer 2a-6b+8. Hogy ezt megoldjuk, már át is másoltam az egészet a jegyzetembe. Itt is van. 1/2-szer 2a-6b+8. Leírom újra, különböző színekkel jelölve, hogy érdekesebb legyen. Tehát 1/2-szer (kihagyok egy kis helyet), 2a-6b, és itt van még +8, ezzel a színnel. Az egészet 1/2-del kell szorozni. Ha ezt az egész kifejezést megszorzom 1/2-del, az ugyanaz, mintha minden tagot szoroznék 1/2-del. Tehát megszorzom ezt 1/2-del, ezt is, és ezt is. 1/2-szer 2a – ugyanazokkal a színekkel jelölöm hogy lásd honnan jön a 2a. 1/2-szer 2a, mínusz 1/2-szer 6b, plusz 1/2-szer 8. Mennyi is lesz ez? Lássuk csak, itt van 1/2-szer 2a. 1/2-szer 2 egyenlő 1, tehát egyszerűen csak egy „a” lesz. Aztán van itt mínusz 1/2-szer 6b. Számoljuk ki, mennyi lesz 1/2-szer 6. 1/2-szer 6 az 3, és még meg kell szorozni b-vel. Tehát ez 3b lesz. És van még 1/2-szer 8. 8-nak a fele 4. Avagy 8 fél egyenlő 4 egésszel. Tehát ez itt 4 lesz. Az egész egyenlő a-3b+4. Be is írom. a-3b+4 Ha megfigyeled, ez egyszerűen minden egyes tag fele. 2a fele a, 6b fele 3b, tehát ez mínusz 3b, és még +8 fele, azaz +4. Ellenőrizzük le a megoldást! Helyesen oldottuk meg. Csináljunk meg még egy ilyet. A feladatunk az, hogy kiemeljük ki a legnagyobb közös osztót. Tehát 60m-40, elő is veszem a jegyzetem. Lassan kifogyok a helyből ebbe az irányba. Tehát itt van 60m mínusz 40. Mi a 60m és 40 legnagyobb közös osztója? Nos, egyből szembetűnik például a 10. Mondhatjuk, persze, 60 egyenlő 10-szer 6 – itt van még az m, az együtt 10-szer 6m – és a 40-et felírhatod 10 és 4 szorzataként. De ettől még 10 nem a legnagyobb közös osztó. Jön a kérdés, honnan tudom én ezt? Onnan, hogy 4-nek és 6-nak van közös osztója. Ez pedig a 2. Ha a legnagyobb közös osztót emeled ki, a maradék tagoknak nem lehet közös osztója. Gondolkozzunk csak, mi lehet 60 és 40 legnagyobb közös osztója. 2-szer 10 az 20. Azaz valójában kiemelhetünk 20-at is. Az annyi, mint 20 és 3m. 40 felbontható 20 és 2 szorzatára. 3m-nek és 2-nek nincs közös osztója. Innen tudod, hogy legnagyobb közös osztót emelted ki. Ha úgy látod, hogy ez valamiféle misztikus eljárás, egy másik módszer a legnagyobb közös osztó megtalálására, hogy a 60-at prímtényezőkre bontjuk. 60 egyenlő 2-szer 30, 30 egyenlő 2-szer 15, 15 egyenlő 3-szor 5. Ez a 60 prímtényezőkre bontva. Kétszer kétszer háromszor öt. Aztán felbontjuk a 40-et, 2-szer 20, 20 egyenlő 2-szer 10, 10 egyenlő 2-szer 5. Ez itt a 40 prímtényezőkre bontva. Ahhoz, hogy a legnagyobb közös osztót megkapd, meg kell találnod az összes közös tényezőt. Tehát itt van két 2-es és egy 5-ös. Itt is van két 2-es és egy 5-ös. Nem jelölhetsz be három 2-est és egy 5-öst, mert a másik oldalon nincs három 2-es. Tehát van két 2-esünk és egy 5-ösünk. Itt is két 2-es és egy 5-ös. 2-szer 2-szer 5 lesz a legnagyobb közös osztó. 2-szer 2-szer 5 az 4-szer 5, azaz 20. Ez egy szisztematikus módszer arra, hogy megtaláld a legnagyobb közös osztót. Most hogy tudjuk, hogy 20 a legnagyobb közös osztó, emeljük is ki! Ez annyi lesz, mint 20-szor 3m – 60m osztva 20-szal, egyenlő 3m. Aztán mínusz, 40 osztva 20-szal, az 2, azaz mínusz 2. Írjuk is be. Ez annyi, mint 20-szor 3m-2. És örülünk, mert tényleg a legnagyobb közös osztót emeltük ki, mivel 3m és 2 – konkrétan 3 és 2 – relatív prímek. Relatív prímek, ami azt jelenti, hogy az egyetlen közös osztójuk az 1.