Egyenlő szárú háromszög területének kiszámítása Pitagorasz-tétel segítségével

Állítsd meg a videót, és próbáld meg kiszámítani ennek a háromszögnek a területét! Két segítséget adok hozzá: elsőként figyeld meg, hogy a háromszög egyenlő szárú, másodszor pedig a Pitagorasz-tétel esetleg használható valahogy. Rendben, akkor vezessük le együtt az egészet! Mindannyian emlékszünk, hogy egy háromszög területe egyenlő 1/2-szer az egyik oldal szorozva a hozzátartozó magassággal. Itt megadtak egy oldalt, ennek az alapnak a hosszát, ami 10 egység. De vajon mekkora a magasság? Íme a magasság – amit más színnel jelölök –, a magasság éppen ez a szakasz itt. Ha ki tudnánk számolni a hosszát, akkor a terület is meglenne abból, hogy 1/2-szer az oldal és a hozzá tartozó magasság szorzata. De hogy kaphatnánk meg ezt a magasságot? Nos, most lesz hasznos az a felismerés, hogy ez egy egyenlő szárú háromszög, így van két egyenlő oldala, és az alapon fekvő szögei is ugyanakkorák. Ha berajzoljuk ezt a magasságot itt – ami az egész dolog lényege –, akkor tudjuk, hogy ezek a szögek itt derékszögek. Márpedig ha két háromszögről tudjuk, hogy két-két szögük ugyanakkora, akkor a harmadik is megegyezik, így ez ugyanakkora, mint ez. Ha van két ilyen háromszög – valószínűleg már ránézésre is nyilvánvalónak látod –, ezeknek két-két szögük egyenlő, és egy megfelelő oldaluk is ugyanakkora, tehát ezek a háromszögek egybevágóak egymással. És amiért annyira hasznos, hogy ezek a háromszögek egybevágóak, az az, hogy mindegyiknek van egy 13 hosszúságú oldala, és mindegyiknek van egy ilyen kék oldala, akármennyi is a hossza, és mindkettőnek lesz egy oldala, amelynek a hossza 10-nek a felével egyenlő. Így ez itt 5 lesz, és ez is itt 5 lesz. De hogy jött ez ki? Mondhatjuk, hogy ránézésre igaznak tűnik, de ha kicsit pontosabban akarunk fogalmazni, akkor a két egybevágó háromszögre hivatkozhatunk, és a 10-et megfelezzük, mert ez itt ugyanakkora, mint ez itt, és a kettő együtt 10 egység. Rendben, akkor most alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt a kék szakasz, azaz a magasság hosszának meghatározására. Legyen ez a hossz h, ekkor Pitagorasz tétele alapján h a négyzeten plusz 5 a négyzeten egyenlő 13 a négyzetennel, h² + 5² = 13², azaz a leghosszabb oldal négyzetével, ami nem más, mint az átfogó négyzete. Nézzük csak, 5 a négyzeten az 25, 13 a négyzeten az 169, majd mindkét oldalból 25-öt kivonva kifejezzük h a négyzetent. Végezzük is el! Mit kaptunk így? Azt kaptuk, hogy h a négyzeten egyenlő 169 mínusz 25-tel, ami 144. Ha most ezt tisztán algebrailag oldod meg, akkor h plusz vagy mínusz 12 is lehetne, mivel azonban távolságról beszélünk, csak a pozitív megoldást vesszük figyelembe, ezért h egyenlő lesz négyzetgyök 144-gyel, azaz h egyenlő 12-vel. Még nem vagyunk készen, hiszen ne felejtsd el, nem a magasság volt a kérdés, hanem a háromszög területe, ami 1/2-szer az oldal és a hozzá tartozó magasság szorzata. Azt már megbeszéltük, hogy az oldal 10 egység, azaz ennek az alapnak a hossza – be is rajzolom egy másik színnel –, szóval az oldal ez a szakasz, ami 10 egység, és az előbb meghatároztuk a magasságot, a magasság 12 lett, most már csak annyi a dolgunk, hogy kiszámoljuk az 1/2-szer 10-szer 12 szorzat értékét, ami tehát annyi, mint félszer 10, ami 5, 5-ször 12 egyenlő 60-nal, 60 területegység, az egység bármi lehet, tehát megkaptuk a területet.