Térbeli Pitagorasz-tétel

Van itt egy érdekes formájú alakzatunk. Alul van egy téglatest, és a téglatest méretei a következők: 3 egység – talán mondhatom így – magas, 2 (és nem 4) egység széles és 4 egység hosszú. És aztán ennek a tetején van egy egyenes gúla, ahol ennek a gúlának a magassága, vagyis ha a gúla alaplapjának közepéről elindulunk, és felmegyünk a tetejéig, akkor ez a magasság itt 1 egység. Nem teljesen méretarányos az ábra, inkább egy kicsit perspektívikusan torzít. De itt most az a feladat, hogy kiszámítsuk ezt a hosszt. Mi a hossza tehát itt ezeknek az éleknek? Akár ennek, akár ennek a másiknak, mennyi lesz a hossza? Jelöljük ezt x-szel. Most arra biztatlak, hogy állítsd le a videót, és próbáld meg magad végiggondolni. Ne feledd, hogy ez egy egyenes gúla. Ez pedig azt jelenti, hogy ez a piros szakasz, ami 1 egység hosszú, merőleges erre az egész síkra. Merőleges a téglatest fedőlapjára. Ezt az eszedbe vésve javaslom, hogy állítsd meg a videót és nézzük meg, rájössz-e. Azért adok egy ötletet. A Pitagorasz-tételt kellene használnod, és talán nem is csak egyszer. Rendben, gondolom megpróbáltad. Most akkor csináljuk együtt. Nos, itt azt kell tudatosítanunk, hogy ez a pont az alaplapon félúton van ebben az irányban, és félúton ebben az irányban. Így ki tudjuk számítani, hogy ha ez a teljes hossz itt négy egység hosszú, akkor a fele – perspektívikus nézetben fogom írni – tehát ez kettő lesz, és ez is kettő lesz. És aztán azt is meg tudjuk mondani, hogy ez a hossz mennyi lesz. Megint csak, ez itt félúton van ebben az irányban, tehát ha ez az egész kettő, amit innen láthatunk, ez egy téglalap alapú egyenes hasáb, tehát ez a hossz ugyanannyi, mint ez a hossz. Vagyis ha ez az egész itt kettő, akkor ezek itt mindketten egy hosszúságúak. Ez is 1, és ez is 1 lesz. Na és miért jó ez nekünk? Nos, ezt az információt felhasználva ki kell, hogy tudjuk számítani ezt a távolságot. (Maradok ennél a színnél, mert ez jól látszik.) Tehát ki tudjuk számítani ezt a hosszt. Na, de miért érdekes ez a hossz? Hát azért, mert ha ezt a szakaszt ismerjük, akkor ezzel a szakasszal egy derékszögű háromszög keletkezik. Ez a szakasz, meg az egy hosszúságú szakasz nem az átfogó szerepét töltik be egy derékszögű háromszögben, így akkor az x lesz az átfogó. És akkor alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt. Vagyis, ha ki tudjuk számítani ezt, akkor ki tudjuk számítani x-et. Csináljuk akkor lépésenként. Hogyan számítsuk ki ezt az hosszt, hívjuk mondjuk 'a'-nak? Hogyan számítsuk ki az 'a' hosszt? Emeljük ezt ki és nézzük meg két dimenzióban. Ha ránézünk két dimenzióban, ez valahogy így fog kinézni. Ez itt az 'a' hosszunk. Azt tudjuk, hogy ez a hossz ennek az oldalnak a fele, vagyis ez 1 lesz. (Talán ezt is ugyanolyan színűvel fogom rajzolni.) Tehát ez itt ugyanakkora, mint ez, és ez 1 hosszúságú. Azután ez ugyanakkora lesz, mint ez itt, azaz kettő hosszúságú. És akkor használjuk most a Pitagorasz-tételt! Tudjuk, hogy az átfogó négyzete megegyezik 1 a négyzeten meg 2 a négyzetennel. 1² + 2², ami 1 + 4, az 5. (Ezt most rózsaszínnel fogom írni.) Felírhatjuk, hogy a² = 5, vagy úgy is mondhatjuk, hogy a = négyzetgyök öttel. Tehát ez a hossz itt négyzetgyök 5, √5. És akkor most használjuk fel ezt az ismeretünket x kiszámítására. Vegyük ezt a derékszögű háromszöget. Ennek ábrázolásához kell egy kis gyakorlat. De látod, hogy ez itt egy derékszögű háromszög. Ez az 1 hosszúságú magasság merőleges erre az egész alapra. Nézzük, le tudom-e rajzolni. Itt van ez az oldal, ami √5 hosszú. Aztán a magasságunk, erről beszélünk, erről a magasságról, ami 1, ide rajzolom, ez tehát 1 hosszúságú. És akkor próbáljuk meghatározni x-et. Megpróbáljuk kiszámítani ezt a narancssárga színű x-et. Még egyszer, tudjuk, hogy ez egy derékszögű háromszög, tehát alkalmazhatjuk rá is a Pitagorasz-tételt. Azt kapjuk, hogy x a négyzeten megegyezik 1 a négyzeten meg négyzetgyök 5 a négyzetennel. 1² + (√5)² Ez azt jelenti, hogy x² = 1 + 5, ugye? Négyzetgyök 5 a négyzeten, az öt. 1 + 5 = 6. Azt kapjuk tehát, hogy x = √6. És ezzel meg is vagyunk. Kiszámítottuk ennek az oldalnak a hosszát.