Távolságképlet

Ebben a videóban azt fogjuk megtanulni, hogyan lehet meghatározni két tetszőleges pont távolságát az (xy) koordinátasíkon. Látni fogjuk, hogy ez valójában csak a Pitagorasz-tétel egy alkalmazása. Nézzünk egy példát! Tegyük fel, hogy van egy pontom. (Sötétebb színt fogok használni, hogy lássuk a fehér papíron.) A pontom tehát a (3; −4). Ha ábrázolni akarom, akkor lépek 1, 2, 3-at, és aztán lefelé 4-et: 1, 2, 3, 4, és itt lesz a (3; −4) pont. Legyen egy másik pont a (6; 0), tehát 1, 2, 3, 4, 5, 6, és y irányban nincs elmozdulás, maradunk az x tengelyen. Az y koordináta 0, tehát ez lesz a (6; 0) pont. És most meg akarjuk határozni ennek a két pontnak a távolságát, vagyis hogy milyen messze van ez a kék pont ettől a narancssárga ponttól. Először talán azt mondhatod, hogy „De hiszen Sal, szerintem eddig még nem volt szó arról, hogy hogyan kell kiszámítani egy ilyen távolságot! És hogy jön ide a Pitagorasz-tétel, hiszen nincs is itt háromszög!” Hát, ha nem látsz itt háromszöget, majd rajzolok neked egyet. Ide rajzolom a háromszöget. Különböző színeket fogok használni, hogy világosabb legyen. Itt van tehát a háromszögünk, és rögtön láthatod, hogy ez egy derékszögű háromszög, ez ugyanis itt derékszög. Az alapja vízszintesen megy balról jobbra, a jobb oldali szára pedig függőleges, tehát egy derékszögű háromszöggel van dolgunk. Ha ki tudnánk számolni az alap hosszát, és hogy mennyi ez a magasság itt, akkor alkalmazhatnánk a Pitagorasz-tételt a hosszú oldal, a derékszöggel szemközti oldal, azaz az átfogó hosszának meghatározásához. Ez a távolság ennek a derékszögű háromszögnek az átfogója. Hadd írjam le: a távolság egyenlő ennek a derékszögű háromszögnek az átfogójával. Egy kicsit nagyobbra rajzolom: ez lesz az átfogó, ez az egyik befogó a jobb oldalon, ami függőleges, ez pedig az alap. Hogyan határozzuk meg – nevezzük ezt a távolságot d-nek, ez az átfogónk hossza. Hogy határozzuk meg ennek a függőleges és ennek a vízszintes oldalnak a hosszát? Nézzük először az alapot! Mekkora ez a távolság? Akár meg is számolhatjuk a négyzetrácsos papíron. (Zölddel fogom jelölni.) Itt x = 3, itt pedig az x = 6, ugye? Csak vízszintesen haladunk, ez ugyanaz a távolság, mint ez itt. Ahhoz, hogy kiszámoljuk ezt a távolságot, a végpont x koordinátáját nézzük. Mindegy, melyik irányból megyünk, hiszen úgyis a négyzetét fogjuk venni, vagyis nem számítana, ha negatív lenne a szám. A távolság tehát 6 mínusz 3 lesz, 6 − 3. Ez a távolság, ami tehát 3, vagyis az alap hosszát már ismerjük. És csak emlékeztetőül, ez az x változásával egyenlő. A végpont és a kezdőpont x koordinátáinak a különbsége, 6 − 3. Ez a delta x. Most ugyanezzel a meggondolással ez a magasság az y változását mutatja. Itt fent az y = 0, ez az oldal végpontja, az y legnagyobb értéke. Itt pedig y = −4, vagyis az y változása 0 −(−4). Veszem a nagyobb y értéket, és kivonom belőle a kisebb y értéket. Itt ugye a nagyobb x értékből vontuk ki a kisebb x értéket, de mindjárt látni fogod, hogy négyzetre emeljük, tehát ha fordítva csinálnánk, és negatív számot kapnánk, akkor is ugyanaz lenne a végeredmény. Mindenesetre ez itt 4, ez az oldal 4 egység hosszú. Akár meg is számolhatnánk a négyzetrácson. Ez az oldal pedig 3. Most akkor alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt! A d távolság négyzete egyenlő lesz a Δx négyzete, azaz az x változásának négyzete, plusz az y változásának négyzete. Ebben nincs semmi különös. Ezt néha távolságképletnek hívják, de ez nem más, mint a Pitagorasz-tétel. Ennek az oldalnak a négyzete, plusz ennek az oldalnak a négyzete egyenlő az átfogó négyzetével, mert ez egy derékszögű háromszög. Helyettesítsük be a kapott számokat! d² egyenlő lesz (Δx)², azaz 3², plusz (Δy)², azaz 4², vagyis 9 + 16 = 25-tel. A távolság tehát, mivel d² = 25, d, a kérdéses távolság... – persze nem vesszük a negatív négyzetgyökét, hiszen a távolság nem lehet negatív, tehát a pozitív négyzetgyöke a 25-nek, ami egyenlő 5-tel, ez a távolság itt tehát 5. Vagy ha ezt a távolságot nézzük, ez volt az eredeti feladat: milyen messze van ez a pont ettől a ponttól? A távolságuk 5 egység. Amit itt látsz, ezt a két pont távolságát megadó képletnek hívják, de ez valójában csak a Pitagorasz-tétel. És hogy tisztában legyél azzal, hogy mennyi féle módon hivatkoznak erre a távolságképletre: néha azt mondják, hogy ha van két pontunk, az egyik legyen (x₁; y₁), ez egy konkrét pont, és van egy másik pontunk: (x₂; y₂), akkor néha ilyen formában is láthatod felírva a távolságot – ami egy kicsit komplikáltnak tűnik, de ez valójában ugyanúgy a Pitagorasz-tétel – tehát: a d távolság egyenlő négyzetgyök alatt (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)². Sok matekkönyvben látod majd így a két pont távolságát leíró képletet. De teljes időpocsékolás lenne ezt memorizálni, hiszen valójában nem más, mint a Pitagorasz-tétel. Ez itt az x változása, függetlenül attól, melyik x-et választod először vagy másodszor, ez az érték lehet akár negatív is, hiszen amikor négyzetre emeljük, nem lesz negatív. Ez meg itt az y változása. Ez azt jelenti, hogy a távolság négyzete – emlékszel, ugye, hogy ha egy egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük, eltűnik a gyökjel – a távolság négyzete egyenlő lesz ennek a kifejezésnek a négyzetével, (Δx)², ahol a Δ jelöli a változást, tehát (Δx)² plusz (Δy)². Nem szeretnélek összezavarni, a Δy az y változását jelöli, ezt talán korábban is mondhattam volna. Alkalmazzuk most ezt még néhányszor, találomra veszek majd pontokat. Legyen mondjuk egy pont az 1, 2, 3, 4, 5, 6, mínusz 6, mínusz 4, a (−6; −4) pont. És mondjuk meg akarom határozni ennek a pontnak a távolságát az 1 és az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, azaz az (1; 7) ponttól, vagyis tudni akarom ezt a távolságot. Pontosan ugyanaz az eljárás: használjuk a Pitagorasz-tételt. Meghatározzuk ezt a távolságot, ami az x értékének változása, és ezt, ami az y értékének változása. Ez a távolság a négyzeten plusz ez a távolság a négyzeten egyenlő lesz ennek a távolságnak a négyzetével. Tehát számoljuk ki! Nézzük, mennyit változik az x – tudjuk, hogy mindegy, de általában a nagyobb x értékből vonjuk ki a kisebb x értéket, de fordítva is csinálhatnánk –, tehát a d távolság négyzete egyenlő – mennyit is változik az x? Vegyük a nagyobb x mínusz kisebb x-et, 1 −(−6). 1 −(−6) a négyzeten plusz az y változásának négyzete. Itt van a nagyobb y, a 7. 7 −(−4), illetve ez a négyzeten. Ezeket a számokat véletlenszerűen választottam, tehát valószínűleg nem jön majd ki valami szép kerek szám. Azt kapjuk tehát, hogy a távolság négyzete egyenlő 1 −(−6) az 7, 7 a négyzeten, ezt akár itt is láthatod, ha megszámlálod, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ez a szám itt az x értékének változása. Ehhez hozzáadjuk a 7 −(−4)-nek, azaz 11-nek a négyzetét – erről a távolságról van szó, meg is számlálhatod a négyzeteket, egészen 11-ig. 7-ből kivonva mínusz 4-et megkaptuk, hogy a távolság 11. Ide jön tehát a 11 a négyzeten. Vegyük most elő a számológépet! 7 a négyzeten plusz 11 a négyzeten az 170, a távolság ennek a négyzetgyöke lesz, igaz? d² = 170. Vegyük tehát a 170 négyzetgyökét, körülbelül 13,04-ot kapunk. A távolság tehát, amit meg akartunk határozni, 13,04 egység lesz. Remélem, hasznosnak találtad mindezt.