If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

Pitagorasz-tétel másik bizonyítása

A Pitagorasz-tétel szemléletes bizonyítása. Készítette: Sal Khan.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.

Videóátirat

Észrevehetted, hogy egy kicsit megszállott vagyok abban, hogy minél több bizonyítását mutassam be a Pitagorasz-tételnek. Csináljunk meg tehát még egyet. És ahogy mindegyik bizonyításnál tettük, most is rajzoljunk fel egy derékszögű háromszöget. Úgy fogom készíteni, hogy az átfogója kerüljön alulra. Itt van tehát a derékszögű háromszögem átfogója, és olyan nagyra rajzolom, amekkorára csak lehet, hogy legyen elég helyünk a továbbiakhoz. Itt van tehát az átfogó, legyen ez itt a hosszabbik oldal, ami nem az átfogó. Akár egyforma is lehetne a két oldal, de most úgy rajzolom, hogy ez egy kicsit hosszabb legyen. Legyen ennek a hossza 'a'. És aztán berajzoljuk a másik oldalt úgy, hogy ez egy derékszögű háromszög legyen, és ennek az oldalnak a hossza 'b'. Egy kicsit meghosszabbítom az 'a' oldalt, hogy tényleg derékszögű háromszög keletkezzen. Ez itt a 90°-os szögünk. Az első dolog, amit most csinálok, hogy veszem ezt a háromszöget, és elforgatom az óramutató járásával ellentétesen 90°-kal. Amikor az óramutató járásával ellentétesen forgatom 90°-kal, akkor valójában ez fog történni, és egy ezzel teljesen egybevágó példány fog keletkezni. 90°-kal forgatok, és ekkor az átfogó ide kerül, függőlegesen fog állni. Igyekszem a lehető legjobban rajzolni, hogy ugyanakkora legyen. Ez az 'a' oldal valahogy így fog kinézni, párhuzamosra akarom rajzolni ezzel az oldallal, nézzük, meg tudom-e elég jól rajzolni. Ez tehát az 'a' hosszúságú oldal, és ha elég ügyes vagyok, akkor ennek 90°-nak kell lennie. Az elforgatás az összes megfelelő oldalra vonatkoztatva 90° kell legyen. Ez is 90° lesz, ez is 90° lesz. Most megrajzolom a 'b' oldalt, ez valahogy így fog kinézni, ez egy 'b' hosszúságú oldal lesz. És itt lesz a derékszög. Mindössze annyit csináltam, hogy ezt elforgattam 90°-kal az óramutató járásával ellentétesen. Most pedig készíteni fogok egy paralelogrammát. Rajzolok egy paralelogrammát, és ehhez feliratozok. Ez a magasság itt 'c', (fehér színnel jelölöm) ez a 'c' magasság. Kiindulok ebből a pontból és felmegyek 'c' hosszan, tehát ez a magasság is 'c'. És ez vajon milyen hosszú? Mekkora lesz a távolság e két pont között? Nos, egy kicsit segítek: ez egy paralelogramma. Ez a szakasz párhuzamos ezzel a szakasszal, a 'c'-k ugyanakkora távolságban tartják őket, és mivel ugyanakkora távolságot megy a vízszintes, x irányban és a függőleges irányban, ugyanolyan hosszú lesz. Ez a hossz tehát 'a'. A következő kérdésem az, hogy mekkora a most létrehozott paralelogramma területe? Ahhoz, hogy ezt végiggondoljuk, újra lerajzolom az ábrának ezt a részét úgy, hogy a paralelogramma vízszintesen helyezkedjen el. Ez a szakasz itt 'a', ez is 'a', ez 'c' hosszú és ez is 'c' hosszú. És ha most ránézel erre a részre, eszedbe juthat valami. (Ezt a zöld színt fogom használni.) A paralelogramma magasságát ismerjük. Ez az oldal merőleges az alapra, tehát a paralelogramma magassága szintén 'a' lesz. Mekkora akkor a terület? Nos, a paralelogramma területe egyszerűen az alapjának és a magasságának a szorzata. Így ennek a paralelogrammának a területe a² lesz. Most csináljuk meg ugyanezt, de ezúttal az eredeti háromszöget forgassuk el a másik irányba, 90°-kal az óramutató járása szerint. És ez alkalommal a forgatási pont ne ez legyen, hanem ez a csúcspont itt. Mit fogunk ekkor kapni? Ha a 'c' oldalt elforgatjuk így, akkor ide fog kerülni. Igyekszem megőrizni a méreteket, ez az oldal tehát 'c' hosszúságú. A 'b' hosszú oldal ide fog kerülni, és valahogy így néz ki. Ezzel lesz párhuzamos, ez itt egy derékszög, egész jól néz ki így, és az 'a' hosszú oldal pedig itt lesz, ez az 'a', és ez itt a 'b', ezt inkább kékkel jelölöm [angolul b mint blue]. Ez a derékszög pedig a forgatás után ide kerül. Most végezzük el ugyanazt, mint az előbb, képezzünk egy paralelogrammát. Ez itt 'c' hosszú, ez is 'c' hosszú, és a korábbi logika szerint, ha ez itt 'b' hosszú, akkor ez is 'b' lesz. Ezek itt párhuzamos szakaszok. Ugyanakkorát mozdulunk el vízszintes irányban, és ugyanannyit emelkedünk függőleges irányban. Ezt abból tudjuk, hogy ezek párhuzamosak. Ez itt lent tehát 'b' hosszú, és ez itt fent is 'b' hosszú. Mekkora lesz ennek a paralelogrammának a területe? Megint könnyebb lesz ezt elképzelnünk, ha lefektetjük. Ez felel meg ennek az oldalnak, itt lesz a másik oldal, mindkettő 'b' hosszú, aztán jönnek a 'c' hosszú oldalak, ez itt 'c' és ez ez is 'c'. Na és mekkora a magassága? Ahogy itt látszik, ennek a magassága is 'b' lesz. Ebből látszik, tudjuk, hogy ez 90°, hiszen 90°-os forgatást végeztünk, így képeztük a háromszöget. Tudjuk, hogy a paralelogramma területe alapszor magasság, így ennek a paralelogrammának a területe b² lesz. A dolgok kezdenek érdekessé válni. Most azt fogom csinálni, hogy átmásolom ezt a részt, mert véleményem szerint ez lesz az ábrának a legfontosabb része. Igyekszem jól kijelölni, és átmásolni ezt a részt, legörgetem és ide másolom. Ez az ábra most világosan mutatja az egész területet. Talán kitörlök itt feketével egy pár felesleges részt, hogy valóban csak a fontos részekre tudjunk figyelni. Ezt is kitörlöm most itt, bár tudjuk, hogy ez 'c', és ezt most ide is rajzolom, ez az eredeti konstrukciónkból való, tudjuk, hogy ez 'c' hosszú. Tudjuk, hogy ez a magasság is 'c' és ez itt lent is 'c'. De a kérdésem hozzád most az, hogy mekkora a területe ennek az egész alakzatnak? Ez ugye a² + b², le is írom: a két paralelogramma területe a² + b². Vajon hogyan tudnánk átdarabolni ezt az alakzatot úgy, hogy ezt 'c'-ben tudjuk kifejezni? Talán rá is jöttél, amikor iderajzoltam ezt a szakaszt. Fehérrel fogom rajzolni, tudjuk, hogy ez a szakasz 'c' hosszúságú, ez következik az eredeti konstrukcióból. (Hoppá, elvesztettem az ábrámat.) Ez itt 'c' hosszú, ez is 'c'hosszú. és ez is 'c' hosszú. Tehát vehetjük ezt a felső háromszöget, ami teljesen egybevágó az eredeti háromszögünkkel, és áthelyezhetjük ide le. Emlékszel, ez a teljes terület, beleértve ezt a felső háromszöget a² + b² volt. De ebbe nem tartozik bele ez az alsó rész, az eredeti háromszögünk. Mi történik viszont akkor, ha hozzávesszük? Fogom, és kivágom, majd pedig idemásolom. Nem teszek mást, mint átmozgatom a háromszöget ide le. Most így fog kinézni. Mindössze átdaraboltam az a² + b² nagyságú területet. Tehát a teljes területe ennek az egész négyzetnek továbbra is a² + b². a² a területe ennek a résznek, ami korábban egy paralelogramma volt, csak átmozgattam a felső részét ide alulra. És b² a területe ennek. Mi lesz hát ez 'c'-ben kifejezve? Tudjuk, hogy ez a teljes terület itt egy c-szer c négyzet, tehát 'c'-ben kifejezve a területe c². Tehát a² + b² = c², vagyis ismét bebizonyítottuk a Pitagorasz-tételt.