A nulla hatványai

Gondoljuk át egy kicsit a nulla hatványait! Mit gondolsz, mennyi lesz a nulla első hatványa? Nyugodtan állítsd le a videót, és gondolkozz el rajta egy kicsit! A hatványozás egyik definíciója szerint kezdhetsz egy egyessel, és ezt az egyest megszorzod egy alkalommal ezzel a számmal. Vagyis szó szerint ez egyszer nulla. Megszorzod az egyet nullával egy alkalommal. Egyszer nulla az pedig nullával egyenlő. Mit gondolsz, mennyi lesz a nulla a négyzeten, azaz a nulla a második hatványon? Ebben az esetben is gondolkodhatunk úgy, hogy az egyből indulunk ki, és azt megszorozzuk nullával két alkalommal. Vagyis egyszer nullaszor nulla. Mennyi lesz az eredmény? Hát, bármely számot nullával szorozva nullát kapsz. Szerintem már láthatod is a szabályszerűséget. Ha veszem a nullát és valamilyen pozitív egész kitevőre emelem, akkor ez az eredmény nulla lesz. A nulla negatív és törtkitevőiről majd másik videókban fogunk beszélni. Mindenesetre ez felvet egy nagyon érdekes kérdést. Mi történik, ha a nullát a nulladik hatványra emeljük? Eddig azt láttuk, hogy a nulla ezredik hatványa is nulla lesz. A nulla milliomodik hatványa is nulla lesz. A nulla bármely pozitív hatványa nulla lesz. Most gondoljuk át azt, hogy mi lesz a nulla nulladik hatványa! Ez ugyanis egy elég összetett kérdés. Tudod, mit? Állítsd meg a videót, és gondolod át, hogy szerinted mennyi lesz a nulla nulladik hatványa! Itt két gondolatmenet is szóba jöhet. Mondhatnád azt, hogy a nullának bármelyik pozitív egész hatványa nullával volt egyenlő, úgyhogy miért nem terjesztjük ki ezt a logikát az összes számra, és mondjuk azt, hogy ennek az eredménynek is nullának kell lennie? Azaz, hogy a nulla nulladik hatványa nullával egyenlő. És itt kezd nagyon érdekes lenni, mert ugye van egy másik lehetséges gondolatmenet is, amit már meg is tanultunk. Ez ugye az volt, hogyha veszünk egy nullától különböző számot, és azt a nulladik hatványára emeljük, akkor első lépésként egy egyessel kezdtünk, és azt megszoroztuk ezzel a nemnulla számmal, nulla alkalommal. Így az eredmény mindig egy volt. Ha a hatványalap egy nullától különböző szám volt, az eredmény mindig egy volt. Mondjuk azt, hogy most ezt a gondolatmenetet kiterjesztjük az összes számra, beleértve a nullát is! Ez alapján a nulla nulladik hatványának egynek kell lennie. Eszerint az érvelés szerint a nulla nulladik hatványa egy lesz. Láthatod, hogy ez egy fogas kérdés, ami egészen összetett matematikai gondolatokhoz vezet. Van mindkét esetben ráció, azaz hogy a nulla nulladik hatványa lehetne akár nullával vagy akár eggyel is egyenlő. Mivel mindkét gondolatmenet mellett szólnak érvek, és mivel nincs egy maradéktalanul helyesnek tűnő megoldás, a matematikusok ezért úgy döntöttek, hogy ezt a műveletet nem értelmezzük. Ezt a műveletet nem értelmezzük. Biztosan vannak olyanok, akiknek az egyik logika jobban tetszik, mint a másik, de legtöbbször a nulla nulladik hatványát nem definiáljuk, legalábbis a hagyományos matematikában. Néhány speciális esetben előfordul, hogy a fenti két logika valamelyikét követjük. Tehát... a nulla bármely pozitív egész kitevőjű hatványa nulla. Bármely nullától különböző szám nulladik hatványa egy lesz. De a nulla nulladik hatványa, hát ez továbbra is egy kérdőjel.