If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:5:47

Miért lesz két negatív szám szorzata pozitív?

Videóátirat

Tegyük fel, hogy egy ókori filozófus vagy, aki a matematikát az alapjaitól építi fel. És már van is elképzelésed arról, hogy mit jelentenek a negatív számok, össze tudod adni és ki tudod vonni őket. Most viszont egy rejtély előtt állsz. Mi történik akkor, ha negatív számokkal szorzol? Ha pozitív számmal szorzol negatívat, vagy ha két negatív számot szorzol össze? Például nem vagy benne teljesen biztos, hogy minek kellene történnie akkor, ha össze kéne szoroznod két számot, ahol az egyik pozitív, a másik pedig negatív. Mi történne, ha mondjuk öttel megszoroznád a mínusz hármat? Egyelőre most még bizonytalan vagy ebben. Abban sem vagy biztos, hogy mi történne, ha két negatív számot szoroznál össze. Mondjuk mínusz kétszer mínusz hatot. Ez sem teljesen világos. Amiben biztos vagy, hiszen matematikus vagy, az az, hogy bárhogy is lesz ez, az remélhetőleg egybe fog vágni a már ismert matematikai szabályokkal, és lehetőleg a szorzás többi szabályával is. Ez megnyugtatna afelől, hogy jól gondolkoztál, aztán később gondolkozhatunk azon is, hogy milyen más módon tudjuk ezeket értelmezni. Most viszont azért, hogy a matematika eddig felállított szabályaival ne legyen ellentmondás, elkezdesz egy gondolatkísérletet. Azt kérdezed, hogy mi lesz az eredménye az ötször három meg mínusz háromnak? A negatív számok összeadására már megvan a filozófiád, tudod, hogyan kell negatív számhoz pozitívat hozzáadni. Tudod, hogy mínusz három a három ellentettje, és ha hozzáadsz mínusz hármat a háromhoz, akkor nullát kapsz. Ez tehát ötször nulla lesz, nulla, annak alapján, hogy már tudod, hogy kell negatív számot hozzáadni pozitívhoz, és ha bármit szorzol nullával, nullát kapsz eredményül. Ez tehát nulla lesz. De te úgy szeretnél pozitív számot negatívval összeszorozni, hogy egyúttal a zárójelfelbontás is működjön, hogy minden tagot be tudjál szorozni öttel, és ha következetesen csinálod – és a mateknak következetesnek kell lennie – akkor ugyanazt az eredményt kell, hogy kapjad. Úgyhogy akkor szorozzunk öttel. Ez itt ötször három. Ide is írom: ötször három. Tehát ezt beszoroztam, meg ötször mínusz három. Ötször mínusz három. És ennek az egésznek nullának kellene lennie. Ötször három, ez két pozitív szám, ezt tudjuk, hogy mennyi, ez 15. Most itt azt kapjuk, hogy 15 + bármi is lesz az 5-ször mínusz 3, ennek az eredménye nulla kell, hogy legyen azért, hogy érvényes maradjon az összes többi ismert matematikai szabály. Mi az, amit ha 15-höz hozzáadunk, nullát kapunk? Hát, ez épp a 15 ellentettje. És azért, hogy ez igaz legyen, hogy ne kerüljünk ellentmondásba az általunk ismert matematikai szabályokkal, ennek itt −15-nek kell lennie. Ezért azt mondod: ötször mínusz háromnak, azért, hogy az eddig ismert matematikai szabályok érvényesek maradjanak, egyenlőnek kell lennie mínusz 15-tel. És ez azzal is egyezik, hogy ha úgy nézzük, hogy itt mínusz hármat összeadunk egymás után ötször. Egy kicsit nehezebb értelmezni, hogy mi lesz két negatív szám szorzata. Viszont itt is alkalmazhatjuk ugyanazt a gondolatmenetet. Azt szeretnénk, hogy bármire is jutunk, az ne mondjon ellent annak, amit a matematikáról idáig tudunk. Megcsináljuk ugyanazt a gondolatkísérletet. Mennyi lenne mínusz kétszer hat meg mínusz hat? Hat meg mínusz hat az nulla. Mínusz kétszer nulla, bármi szorozva nullával, az nulla. De itt is felbontjuk a zárójelet. Mínusz kétszer hat, mínusz kétszer hat, meg mínusz kétszer mínusz hat, és ennek az egésznek megint csak nullának kell lennie. Az előbbi gondolatkísérletünk alapján azt mondtuk: ennek az eredménynek mínusz 12-nek kell lennie. Ezt úgy is vehetjük, hogy a számegyenesen balra megyünk kétszer hatot, így elérkezünk a mínusz 12-höz. Vagy azt is mondhatod, hogy ha hatszor összeadunk mínusz kettőt, az is −12-t ad eredményül. Fent is láttuk, hogyha egy pozitív és egy negatív számot összeszorzunk, az eredmény negatív, tehát tudjuk, hogy itt ez mínusz 12, úgyhogy itt van −12, meg ez a valami, ami bármi is legyen, az eredménynek nullának kell lennie azért, hogy ne kerüljünk ellentmondásba az eddig ismert matematikai szabályokkal. Úgyhogy akkor mi az, amit ha hozzáadunk a mínusz tizenkettőhöz, nullát kapunk eredményül? Hát a plusz tizenkettő meg mínusz tizenkettő eredménye lesz a nulla. Tehát ennek +12-nek kell lennie azért, hogy érvényesek maradjanak az eddig megismert szabályok. Arra a következtetésre jutottunk, hogy az eredmény +12 lesz. És itt most abba is hagyom, de meglátom, lehet, hogy majd csinálok újabb videókat, amikben szintén elmagyarázom, hogy mindez miért igaz.