If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:6:14

Videóátirat

Te, az ókori matematikus-filozófus, arra a következtetésre jutottál, hogy azért, hogy az, amikor pozitív és negatív számokat szorzol össze, ne kerüljön ellentmondásba mindazzal, amit eddig kidolgoztál, a szorzás összes olyan tulajdonságával, amit már megismertél, egy negatív és egy pozitív szám szorzatának, avagy egy pozitív és egy negatív szám szorzatának negatív eredménye kell, hogy legyen, és két negatív szám szorzatának pozitívnak kell lennie. Ezt el is fogadod, itt eddig nincs ellentmondás. De a szabály még nem teljesen értelmezhető számodra. Szeretnéd mélyebben megérteni, nemcsak elfogadni azt, hogy ez így nem mond ellent a zárójel- felbontás szabályainak és egyebeknek. Ezért aztán megpróbálkozol egy másik gondolatmenettel. Felteszed magadnak a kérdést, hogy „Mi is alapjában véve a szorzás?” Ha azt mondom, hogy kétszer három, a szorzás egyik értelmezése szerint ezt vehetjük úgy, hogy ez igazából ismételt összeadás, úgyhogy ez tekinthető úgy, mint két hármas, ami három meg három. Látod? Kettő van belőlük. Vagy veheted úgy is, hogy három kettes van. Ez ugyanaz, mint kettő meg kettő meg kettő, ezekből három van. És akárhogyan is nézzük, ugyanarra az eredményre jutunk. Az eredmény hat. És ez rendben is van, ezt már az előtt is tudtad, hogy megpróbálkoztál volna a negatív számokkal. Akkor most próbáljuk az egyik számot negatívval helyettesíteni, és nézzük meg, hogy akkor mi lesz. Vegyük azt, hogy kétszer mínusz három. A negatívot más színnel fogom írni. Tehát kétszer mínusz három Ezt veheted úgy – az előzőek mintájára –, hogy a mínusz hármat kétszer veszed. Ez tehát mínusz három és egy másik mínusz három, azaz mondhatjuk azt is, hogy mínusz háromból három. Vagy pedig, na és ez az érdekes dolog, itt az volt, hogy kétszer három, összeadtuk a kettőt háromszor. De mivel ez itt kétszer mínusz három, (itt mínusz három van), azt is mondhatjuk, hogy kivonunk kettőt háromszor. Itt fenn írhattam volna azt is, hogy plusz kettő meg plusz kettő meg plusz kettő, mert ez itt plusz három, de mivel most mínusz hárommal csináljuk ugyanezt, ezt úgy is elképzelhetjük, hogy kivonunk kettőt háromszor. Kivonunk kettőt, kivonunk még kettőt, és kivonunk még kettőt. És látod? Megcsináltuk háromszor, ez itt mínusz három, és ezért háromszor vonunk ki kettőt. És bárhogy is értelmezed ezt a műveletet, mínusz hat lesz az eredmény. Ez akkor itt most már rendben van, hogy negatívszor pozitív, vagy pozitívszor negatívnak az eredménye negatív lesz. Nézzük meg a nagyon nem magától értetődőt, a negatív szorozva negatív esetét, ahol hirtelen a negatívok mintegy kioltják egymást, és az eredmény pozitív lesz. Vajon ez miért van? Ennek a példának az alapján fogunk építkezni. Legyen mondjuk mínusz kétszer mínusz három. Most ezzel fogjuk kezdeni. Itt is mínusz hárommal szorzunk meg valamit, ami azt jelenti, hogy bármi is legyen az, egymás után kivonom háromszor. Az a valami viszont most nem plusz kettő, hanem mínusz kettő. Most ezt vonjuk majd ki. És csak hogy teljesen egyértelmű legyen: itt azt mondjuk ugye, hogy ki kell vonni valamit háromszor, ki fogunk vonni valamit háromszor, kivonunk valamit, kivonunk valamit és megint kivonunk valamit. Egy, kettő, háromszor. Itt ez a rész tehát ezt jelenti, háromszor vonunk ki egymás után. Itt fönt plusz kettőt vontunk ki, most pedig mínusz kettőt fogunk kivonni. És azt már tudjuk, hogy ha negatív számot vonunk ki, akkor az olyan, mintha elvennénk valakinek az adósságát, tehát az ugyanaz, mint hogy ha pozitív számokat adnánk össze. Ez tehát ugyanannyi lesz, mint kettő meg plusz kettő meg plusz kettő, és ennek az eredménye megint csak plusz hat lesz. Alkalmazhatjuk ugyanezt a logikát itt is: ahelyett, hogy összeadnád kétszer a mínusz hármat, és itt fönt írhattam volna ezt úgy is, hogy mínusz három, mínusz három, és ezeket ugye összeadtuk, ide is teszek egy plusz jelet, hogy világos legyen. Tehát itt kétszer összeadtuk őket, összeadtuk a mínusz hármat kétszer. Itt pedig, mivel itt mínusz kettő van, ezért kivonjuk a mínusz hármat kétszer, kivonunk valamit, és megint kivonunk valamit, és ez a valami a mínusz három lesz. Mínusz, mínusz és ide jön a három, és most is a negatív szám kivonása olyan, mintha eltüntetnénk valakinek a tartozását, ami lényegében azt jelenti, hogy pénzt adunk neki. Ez tehát ugyanaz, mint összeadni hármat plusz hármat, ami megint csak hat. Ókori filozófusként, most igen elégedett vagy, mert mindezekre nemcsak, hogy érvényesek az általad ismert matematikai szabályok, a zárójelfelbontás, a szorzás, amiket már régről tudsz, de ráadásul most már azt is érted, hogy miért van ez így. És mindez egybevág azzal, ahogy eredetileg gondoltad, hogy a szorzást úgy is lehet értelmezni, hogy ez ismételt összeadás.