Két szám távolsága, mint különbségük abszolút értéke

Mondjuk, hogy van két szám a számegyenesen. Ide fel is rajzolok gyorsan egy számegyenest. Legyen ez a két szám 'a' és 'b'. Úgy rajzoltam, hogy a 'b' jobbra esik 'a'-tól, tehát a 'b' nagyobb mint 'a'. Ha meg akarom határozni az 'a' és 'b' távolságát, tehát ezt a távolságot 'a' és 'b' között, ezt hogyan tehetném? Hát egyszerűen vehetném a két szám közül a nagyobbat, ami 'b', és kivonhatnám belőle a kisebbet, azaz kivonnám 'a'-t, így megkapom ezt a távolságot. ami egy pozitív érték. Mert amikor távolságról beszélünk, akkor az mindig egy pozitív érték, azt jelenti, hogy milyen messze van egymástól ez a két szám. Most azért tudtam megmondani, hogy ez a távolság b − a, mert tudtam, hogy 'b' nagyobb 'a'-nál. Itt tehát pozitív értéket kapunk. De mi van akkor, ha 'a' nagyobb, mint 'b'? Lerajzolok újra egy számegyenest, itt a számegyenes és most az 'a' lesz nagyobb, mint a 'b'. Ez itt a 'b', ez itt az 'a', és ha most ki akarjuk számolni a 'b' és az 'a' távolságát, akkor vennünk kell a kettő közül a nagyobbat, ami az 'a', – ugye emlékszel, pozitív távolságot akarunk, – és kivonjuk ebből a kisebbet. Ez a − b. Itt b − a volt, most pedig a − b. De mi van akkor, ha nem tudom, hogy az 'a' vagy a 'b' a nagyobb, akkor mit tudok csinálni? Nos, akkor vehetnénk akár az 'a − b'-t, akár a 'b − a'-t, és vennénk az abszolútértéküket. Mert hogy ha így csinálod, akkor nem számít, hogy a 'b − a' vagy az 'a − b' különbségét veszed. Ugyanis függetlenül attól, hogy 'a' nagyobb-e 'b'-nél, vagy 'b' nagyobb-e 'a'-nál, vagy a kettő megegyezik, az 'a − b' és a 'b −a' abszolútértéke ugyanaz. Mindkét kifejezés a két szám távolságát jelenti. Arra bíztatlak, hogy vizsgálódj a negatív számok körében, válassz ki negatív számokat, és vizsgáld meg az abszolútértékeket. És akkor tényleg meg fogod érteni, hogy ez miért igaz. Lehet, hogy majd egy másik videóban foglalkozok egy kicsit ennek a komolyabb bizonyításával, de most, ebben a videóban az a fontos, hogy lássuk, hogy ez tényleg így van. Nézzük, rajzoljunk fel még számegyeneseket, és nézzünk meg még néhány példát. Tegyük fel, hogy meg akarjuk határozni mondjuk a −2 és a +3 távolságát. Megnézhetjük a számegyenest, és meghatározhatjuk ott a távolságot. Ahhoz, hogy eljussunk a −2-ből a +3-ba, vagyis hogy megmondjuk, mennyi a két szám távolsága, látjuk, hogy 1, 2, 3, 4, 5-öt kell lépnünk. Rajzolok egy egyenesebb vonalat. Ez a távolság itt öttel egyenlő. Láthatod, 1, 2, 3, 4, 5. De visszafelé is mehetnénk, a háromból a mínusz kettőbe. Na és nézzük meg, hogy amit ide leírtam, működik-e itt is? Ha a −2 lesz az 'a', és a 3 a 'b', akkor írhatjuk úgy, hogy mínusz 2 mínusz 3 abszolútértéke, (−2 −3)-nak az abszolútértéke. És ez mivel egyenlő? Ez annyi, mint −2 −3 = −5, tehát ez a −5-nek az abszolútértéke, azaz ez tényleg egyenlő 5-tel. Figyeld meg, hogy most a nagyobb számot vontam ki a kisebb számból. Negatív számot kaptam, de aztán vettem az abszolútértékét, és az adta ki a két szám távolságát. És mi történik akkor, ha fordítva csinálom? Ha a háromból vonom ki a mínusz kettőt? Ez akkor a 3-ból a −2-nek lesz az abszolútértéke, a zárójelbe beírom a −2-t. Ha egy kisebb számot vonsz ki egy nagyobb számból, akkor pozitív értéket kell, hogy kapjál. Így végülis itt az abszolútérték jel nem is számít. Igazából nincs is rá szükség, hacsak azért nem, hogy bebizonyítsuk, hogy igazunk van. Ez tehát 3 − (−2), ami nem más, mint 3 + 2, ami = 5. Ez tehát 5 abszolútértéke, ami természetesen 5. Remélem tetszik neked, hogy ha két szám távolságát akarod meghatározni, akkor az egyiket kivonod a másikból, és mindegy, hogy ezt milyen sorrendben teszed. Kivonhattad volna a 3-at a −2-ből, vagy a −2-t a 3-ból, – vigyázz a mínusz jel használatával! – és aztán veszed az eredmény abszolútértékét, ami megadja a két szám távolságát. Ez nagyon fontos, mert később, ahogy majd folytatod a matek tanulmányaidat, lehet, hogy egyszer találkozol egy olyan matek tanárral, aki azt mondja, hogy vegyük két változó távolságát, legyen mondjuk a és b, a távolság a − b, és lehet, hogy később pedig így írja. Ezért tehát jó, ha tisztában vagy azzal, hogy ez tényleg ugyanaz, ezek ugyanazt az értéket adják, mindkettő a két szám távolságát adja meg.