If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

Számtan

Tantárgy/kurzus: Számtan > 3. témakör

3. lecke: A szorzás tulajdonságai
Matematika
Számtan
Szorzás és osztás
A szorzás tulajdonságai
© 2023 Khan AcademyFelhasználási feltételekAdatkezelési tájékoztatóSüti figyelmeztetés

A szorzás csoportosíthatósága – bevezetés

Google Osztályterem
Gyakorold a tényezők átcsoportosítását szorzásos feladatokban, és figyeld meg, hogyan befolyásolja ez az eredményt!

Számok csoportosítása

A képen pöttyök csoportja látható: 3 sor, minden sorban 2 pötty. Ezt az elrendezést a 3⋅2 kifejezéssel írhatjuk le.
Ezen a képen ugyanazt a 3⋅2 pöttyből álló csoport 4-szer egymás mellé másoltuk.
Ezt a csoportot a (3⋅2)⋅4 kifejezéssel írhatjuk le.
Ha megszámoljuk a pöttyöket, összesen 24-et kapunk.

A csoportosítás megváltoztatása

Vajon ugyanazt a végeredményt kapjuk-e, ha megváltoztatjuk a zárójel helyét, és így a számokat máshogy csoportosítjuk?
Csoportosítsuk át a számokat úgy, hogy a 2 és a 4 kerüljön egy csoportba: 3⋅(2⋅4).
Ábrát is készíthetünk ehhez a kifejezéshez. Kezdjük 2 sorral, mindegyik sorban 4 pöttyel. Ez az elrendezés a 2⋅4 kifejezést ábrázolja.
Ezt a csoportot 3-szor kell lemásolnunk a 3⋅(2⋅4) kifejezés ábrázolásához.
Ha megszámoljuk a pöttyöket, az eredmény most is összesen 24.
Az átcsoportosítás nem változtatja meg az eredményt!
(3⋅2)⋅4=3⋅(2⋅4)

Csoportosíthatóság

A csoportosíthatóság az a matematikai tulajdonság, amely lehetővé teszi, hogy a szorzásnál a számokat átcsoportosíthassuk anélkül, hogy az eredmény megváltozna.
Csoportosítsuk a számokat két különböző módon az alábbi szorzási feladatban, és bizonyítsuk be, hogy mindkét módszerrel ugyanazt a szorzatot kapjuk!
5⋅4⋅2
Kezdjük úgy, hogy az 5 és a 4 kerül egy csoportba. Számítsuk ki a kifejezést lépésről lépésre!
=(5⋅4)⋅2
=20⋅2
=40
Most tegyük a 4-et és a 2-t egy csoportba!
=5⋅(4⋅2)
=5⋅8
=40
Ugyanazt a szorzatot kaptuk, annak ellenére, hogy a számokat két különböző módon csoportosítottuk.
Mindhárom kifejezés egyenlő:
=5⋅4⋅2
=(5⋅4)⋅2
=5⋅(4⋅2)

Oldjunk meg néhány feladatot!

1 . feladat
Melyik kifejezés egyenlő 6⋅3⋅4-gyel?
Válaszd ki az ÖSSZES lehetséges megoldást:

Most próbáljuk meg két különböző módon kiszámítani a kifejezés értékét!
2 . feladat
Írd be a hiányzó számokat a (3⋅2)⋅5 kifejezés megoldásához!
(3⋅2)⋅5 = 
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3/5
  • egyszerűsített áltört, például 7/4
  • vegyes szám, például 1 3/4
  • véges tizedes tört, például 0,75
  • A pí többszöröse, például 12 pi vagy 2/3 pi
⋅5
(3⋅2)⋅5 = 
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3/5
  • egyszerűsített áltört, például 7/4
  • vegyes szám, például 1 3/4
  • véges tizedes tört, például 0,75
  • A pí többszöröse, például 12 pi vagy 2/3 pi

Most számítsd ki ugyanazt a kifejezést úgy, hogy a számokat más módon csoportosítod!
3 . feladat
Írd be a hiányzó számokat a 3⋅(2⋅5) kifejezés megoldásához!
3⋅(2⋅5) = 3⋅
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3/5
  • egyszerűsített áltört, például 7/4
  • vegyes szám, például 1 3/4
  • véges tizedes tört, például 0,75
  • A pí többszöröse, például 12 pi vagy 2/3 pi
3⋅(2⋅5) = 
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3/5
  • egyszerűsített áltört, például 7/4
  • vegyes szám, például 1 3/4
  • véges tizedes tört, például 0,75
  • A pí többszöröse, például 12 pi vagy 2/3 pi

(3⋅2)⋅5=30 és
3⋅(2⋅5)=30
Ugyanazt a szorzatot kaptuk, annak ellenére, hogy a számokat két különböző módon csoportosítottuk.

Egyenlő kifejezések

A csoportosíthatóságot felhasználva kereshetünk egyenlő kifejezéseket.
Kezdjük a 2⋅2⋅5 kifejezéssel!
Ezt a kifejezést kétféle módon is csoportosíthatjuk úgy, hogy megegyezzen a 2⋅2⋅5 kifejezéssel:
(2⋅2)⋅5
2⋅(2⋅5)
Az egyes kifejezések lépésenként történő kiszámításával több egyenlő kifejezést is találunk.
(2⋅2)⋅5=4⋅5
2⋅(2⋅5)=2⋅10
Vagyis az eredeti 2⋅2⋅5 kifejezés megegyezik a 4⋅5 és 2⋅10 kifejezéssel is.
4 . feladat
Melyik kifejezés egyenlő 8⋅2⋅4-gyel?
Válaszd ki az ÖSSZES lehetséges megoldást:

Mire való az átcsoportosítás?

Az átcsoportosítás könnyebbé teheti a szorzás elvégzését.
Nézzük meg a 4⋅4⋅5 kifejezést!
A kifejezést kétféle módon csoportosíthatjuk:
(4⋅4)⋅5
4⋅(4⋅5)
Ha az első kifejezést lépésről lépésre kiszámítjuk, akkor a következőt kapjuk: (4⋅4)⋅5=16⋅5
Ha a második kifejezést lépésről lépésre kiszámítjuk, akkor a következőt kapjuk: 4⋅(4⋅5)=4⋅20
A 4⋅20 szorzást könnyebb lehet elvégezni, mint a 16⋅5-öt.
Habár a számokat különböző módon csoportosítottuk, mindkét szorzás eredménye ugyanannyi.
4⋅20=80
16⋅5=80

Oldjunk meg egy feladatot!

5 . feladat
Hogyan csoportosíthatjuk a 2⋅3⋅9 kifejezést?
Válaszd ki az ÖSSZES lehetséges megoldást:

6 . feladat
Hogyan csoportosítsuk a számokat, ha nem szeretnénk kétjegyű számmal szorozni a végeredmény kiszámításához?
Válassz egyet:

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Jelentkezz be
Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.