Széttagolás – bevezetés

Ezen az ábrán $3$3 sort látunk, mindegyik sorban $6$6 pöttyel. A pöttyök száma így $3 \cdot 6 = 18$3, dot, 6, equals, 18.

Ha egy vonallal két csoportra osztjuk a pöttyöket, ez nem változtatja meg a pöttyök számát.

A felső csoportban $1$1 sor van $6$6 pöttyel. A pöttyök száma $1 \cdot 6$1, dot, 6.

Az alsó csoportbans $2$2 sor van, mindegyikben $6$6 pöttyel. A pöttyök száma $2 \cdot 6$2, dot, 6.

Továbbra is összesen $18$18 pöttyünk van.

Azt a matematikai szabályt, amely szerint részekre bonthatunk egy szorzást, széttagolhatóságnak hívjuk.

A széttagolhatóság azt jelenti, hogy ha szorzásnál az egyik szorzótényezőt két szám összegeként írjuk fel, akkor a szorzat nem változik.

A széttagolhatóság lehetővé teszi, hogy két egyszerűbb szorzási részfeladatra bontsuk a szorzást.

A pöttyös példánál $\greenD{3} \cdot \purpleD{6}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, dot, start color #7854ab, 6, end color #7854ab pöttyből indultunk ki.

Felbontottuk a $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54-at $\greenD{1 + 2}$start color #1fab54, 1, plus, 2, end color #1fab54-re. Ezt megtehetjük, hiszen $\greenD{1 + 2 = 3}$start color #1fab54, 1, plus, 2, equals, 3, end color #1fab54

A széttagolhatósági szabályt alkalmaztuk, amikor a $\greenD{3} \cdot \purpleD{6}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, dot, start color #7854ab, 6, end color #7854ab-ot $(\greenD{1 + 2}) \cdot \purpleD{6}$left parenthesis, start color #1fab54, 1, plus, 2, end color #1fab54, right parenthesis, dot, start color #7854ab, 6, end color #7854ab-ra változtattuk.

A $\purpleD{6}$start color #7854ab, 6, end color #7854ab-ot tagonként szorozzuk $\greenD{1}$start color #1fab54, 1, end color #1fab54-gyel és $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54-vel, így a feladat erre módosul:
$(\greenD{1} \cdot \purpleD{6}) + (\greenD{2} \cdot \purpleD{6})$left parenthesis, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, dot, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, dot, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, right parenthesis

Most ki kell számolnunk a két szorzatot:
$6 + 12$6, plus, 12

És végül az összeg:
$6 + 12 = 18$6, plus, 12, equals, 18

$\greenD{3} \cdot \purpleD{6} = 18$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, dot, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, equals, 18 és
$(\greenD{1 + 2}) \cdot \purpleD{6} =18$left parenthesis, start color #1fab54, 1, plus, 2, end color #1fab54, right parenthesis, dot, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, equals, 18

Néhány számmal, mint pl. az $1, 2, 5$1, comma, 2, comma, 5 és a $10$10, könnyebb szorozni. A széttagolhatósági szabály lehetővé teszi, hogy a szorzásos feladatokat úgy alakítsuk át, hogy e számok valamelyike legyen az egyik szorzótényező.

Például a $4 \cdot 12$4, dot, 12-t átírhatjuk így: $4 \cdot (\tealD{10} + \greenC{2})$4, dot, left parenthesis, start color #01a995, 10, end color #01a995, plus, start color #74cf70, 2, end color #74cf70, right parenthesis.

A bal oldali pöttyök a $(\tealD{4 \cdot 10})$left parenthesis, start color #01a995, 4, dot, 10, end color #01a995, right parenthesis kifejezést ábrázolják. A jobb oldali pöttyök a $(\greenC{4 \cdot 2})$left parenthesis, start color #74cf70, 4, dot, 2, end color #74cf70, right parenthesis kifejezést ábrázolják.

Most már csak össze kell adnunk a két kifejezést, hogy megkapjuk a végeredményt.
$(\tealD{4 \cdot 10}) + (\greenC{4 \cdot 2})$left parenthesis, start color #01a995, 4, dot, 10, end color #01a995, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #74cf70, 4, dot, 2, end color #74cf70, right parenthesis
$= \tealD{40} + \greenC{8}$equals, start color #01a995, 40, end color #01a995, plus, start color #74cf70, 8, end color #74cf70
$=48$equals, 48

Mivel $10$10-zel és $2$2-vel is könnyű szorozni, a széttagolással egyszerűbbé tettük a szorzás elvégzését.

Ebben az elrendezésben a pöttyök ezt mutatják: $9 \cdot 4$9, dot, 4.

A széttagolás nagyon hasznos nagy számok összeszorzásánál. Nézzük meg, hogyan alkalmazzuk a széttagolást a $15 \cdot 8$15, dot, 8 szorzás egyszerűsítésére!

Kezdjük azzal, hogy felbontjuk a $\blueD{15}$start color #11accd, 15, end color #11accd-öt $\blueD{10 +5}$start color #11accd, 10, plus, 5, end color #11accd-re. Ezután széttagoljuk a $8$8-at mindkét számhoz.