Az osztás fogalma

Gondolom, már hallottad azt a szót, hogy osztás. Például amikor azt mondják neked, osszál el valamit, oszd el a pénzt a testvéreddel vagy a haveroddal. Ez azt jelenti, hogy valamit részekre osztunk. Írjuk le a szót: osztás. Mondjuk van négy százasom. Megpróbálok 4 százast rajzolni. Van négy darab százasom, pont mint ezek. Az én értelmezésemben így néz ki a százas. És tegyük fel, ketten vagyunk, és el fogjuk osztani ezeket a százasokat egymás között. Ez itt én vagyok. Megpróbálom lerajzolni magamat a legjobb tudásom szerint. Lássuk csak, jó sok hajam van. Ez pedig te vagy. Igyekszem. Mondjuk, hogy te kopasz vagy. De van oldalszakállad. Lehet, hogy egy kis szakállad is van. Szóval ez vagy te, ez meg én, Kicsit sokat foglalkoztam ezzel a rajzzal. Szóval ez vagy te, ez meg én, és el fogjuk osztani ezt a négy százast egymás között. Tehát figyelj, van 4 százasunk, és kettőnk között fogjuk elosztani. Ketten vagyunk, vagyis van itt 2 ember. Amit ki akarok emelni, az a kettes szám. Szóval elosztjuk a 4 százast kétfelé. Kettőnk között fogjuk felosztani. Valószínűleg csináltál már ilyet. Mi fog történni? Nos, mindketten kapunk 2-2 százast. Hadd osszam el. Kétfelé fogjuk osztani. Lényegében annyit csinálok, hogy fogom a 4 százast, és 2 egyforma csoportra osztom, 2 egyenlő részre. Ez az osztás. 2 egyforma csoportra osztottuk a százasokat. Tehát ha 4 százast 2 csoportra osztunk – ez a 4 százas, ezt akarjuk 2 csoportra osztani –, akkor ez lesz itt az első csoport, és ez a második csoport. Mennyi is van az egyes csoportokban? Mindegyik csoportban 1, 2 százas van. 1, 2 százas van mindegyik csoportban. Írjuk ezt le a matematika nyelvén! Szerintem csináltál már ilyet, osztottatok szét pénzt a testvéreiddel vagy a barátaiddal. Hogy írjuk ezt le a matematika nyelvén? Úgy írhatjuk, hogy ez a 4 két csoportra osztva, ez itt a 2 csoport: az első csoport, és a második csoport, 2 csoportra vagy részre van osztva. A 4:2 egyenlő – amikor a 4-et 2 csoportra osztod, mindegyik csoportban 2 százas lesz –, ezért ez egyenlő lesz 2-vel. Azért csináltam ezt a példát, mert meg akartam mutatni, hogy az osztás olyan dolog, amit már régóta használsz. Egy másik fontos tanulság, amit itt észre kell venni, hogy az osztás a szorzás ellentéte. Ha azt mondom, hogy van két csoport, csoportonként 2 százassal, akkor ha összeszorzom a 2 csoport 2 százasát, akkor megkapom, hogy 4 százasom van. Bizonyos szempontból ezek ugyanazt jelentik. Azért, hogy világosabb legyen, csináljunk még néhány példát. Csináljunk még jó pár példát. Írjuk le, mennyi 6 osztva 6:3, az mennyivel egyenlő? Rajzoljunk 6 tárgyat! Ezek bármik lehetnek. Mondjuk van 6 almám. Nem vacakolok sokat a rajzolásukkal. Igaz, ez nem igazán néz ki úgy, mint egy alma, de így is meg fogod érteni. 1, 2, 3, 4, 5, 6. Most ezt elosztom 3-mal. Megközelíthetjük ezt úgy, hogy szét akarom osztani a 6 almát 3 egyenlő csoportba. Úgy is mondhatjuk, hogy 3 ember fog osztozni az almákon. Hány fog jutni egynek? Osszuk fel 3 csoportra. Ez a 6 almánk. 3 csoportra fogom felosztani. A legjobban úgy tudom felosztani 3 csoportra, hogy ez egy csoport, ez a második csoport, és ez itt a harmadik csoport. Hány alma került a csoportokba? Ebben van 1, 2, itt 1, 2. és itt is 1, 2 alma. Így tehát 6:3 = 2. A legjobb, ha úgy tekintesz erre, hogy a 6-ot 3 csoportra osztottuk. Kicsit másképp is gondolkodhatunk, bár nem teljesen más, de segít abban, hogy jobban megértsd. Úgy is gondolhatsz rá, hogy 6:3... vagy a hat osztva hárommal, Itt mondjuk van hat málnám – ezt könnyebb rajzolni –, 1, 2, 3, 4, 5, 6. És itt, ahelyett, hogy három csoportra osztanánk – úgy, ahogy itt csináltuk, itt volt az 1. csoport, 2. csoport, 3. csoport –, ahelyett, hogy 3 csoportra osztanánk, mondhatjuk azt is, hogy ha a 6-ot 3-mal elosztom, akkor hármas csoportokra akarom osztani. Nem 3 csoportra, hanem hármas csoportokra akarom osztani. Hány csoportom lesz így? Hadd rajzoljak hármas csoportokat, ez egy hármas csoport. és két hármas csoport. Szóval ha van 6 valamim, és felosztom ezt hármas csoportokra, akkor 1, 2 csoportom lesz. Ez egy másik módja annak, hogy elképzeld az osztást. Ez egy érdekes dolog. Amikor ezen a két összefüggésen gondolkodsz, akkor meg fogod látni, mi a közös abban, hogy 6:3 és 6:2. Itt fogom folytatni. 6:2, mennyi a hatban a kettő, amikor e szerint az összefüggés szerint gondolkodsz? 6:2, amikor így csináljuk – lerajzolom, 1, 2, 3, 4, 5, 6 –, ha 6:2-t abban az értelemben vesszük, hogy a 6-ot 2 csoportra osztjuk, akkor azt kapjuk, hogy egy csoport, mint ez, és még egy csoport, mint ez itt, és mindegyik csoportban 3 elem van. 3 valamim van egyben. 6:2 = 3. Vagy elképzelheted a másik módon is. 6:2 – veszel 6 valamit: 1, 2, 3, 4, 5, 6, és aztán kettes csoportokra osztod őket, ahol minden csoportban 2 elem lesz. Ezt könnyebb megcsinálni, ha mindegyik csoportban 2 elem van. Ez egy csoport itt. Nem is kell, hogy szépen legyenek elrendezve. Ez lehet egy másik kettes csoport, és ez lehet megint egy csoport. Nem kell, hogy szépen rendezettek legyenek. Ezek mind kettes csoportok. De hány csoportom is van? 1, 2, 3, Ezt leírom. Azt kaptuk, hogy 6:2 = 3 és 6:2 = 3. Három csoportom van. És észrevetted? Hogy nem véletlen, 6:3 = 2 és 6:2 = 3 Ezt leírom. Azt kaptuk, hogy 6:3 = 2 és 6:2 = 3 Azért van ez az öszefüggés, hogy a 3 és a a 2 felcserélhető, mert 2·3 = 6. Mondjuk van 2 hármas csoportom. Rajzolok 2 hármas csoportot. Ez egy hármas csoport és ez még egy hármas csoport. 2 hármas csoport az összesen 6. 2·3 = 6. Vagy a másik módon megközelítve: van három kettes csoportom. Ez egy kettes csoport itt, egy másik kettes csoport, és a harmadik kettes csoport, itt. Ez mennyi is összesen? 3 kettes csoport, 3·2, ez szintén egyenlő 6-tal. 3·2 = 6. Tehát 2·3 = 6, és 3·2 = 6. Ezt már láttuk a szorzásokról szóló videóban, hogy szorzásnál nem számít a sorrend. Ez az oka annak, hogy amikor osztani akarsz, ha 6 tárgyad van, és fel akarod osztani kettes csoportokra, akkor 3 csoportot kapsz. Ha viszont a 6 tárgyat hármas csoportokra osztod, akkor 2 csoportot kapsz. Nézzünk még pár példát! Úgy gondolom, ezek majd segítenek jobban megérteni az osztás lényegét. Nézzünk egy érdekes feladatot! Legyen 9:4. Képzeljük el, hogy a 9-et 4-gyel osztjuk. Felrajzolok 9 tárgyat. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Amikor 4-gyel osztunk, ennél a feladatnál én úgy gondolom, hogy négyes csoportokra fogom osztani. Ha fel akarom osztani négyes csoportokra, itt van egy négyes csoport – csak úgy kiválasztottam ezeket a tárgyakat –, aztán itt van egy másik négyes csoport, és aztán úgy látjuk, hogy ez az egy karika csak úgy itt maradt. Ezt maradéknak fogom nevezni. Ebből nem tudunk négyes csoportot csinálni. Amikor 4-gyel osztok, négyes csoportokra szedem szét a kilencet. 9:4, az kettő lesz – van itt egy csoport, egy másik csoport itt –, és van maradék, ami 1. Van 1, ami kimaradt, amivel nem tudtam mit kezdeni. Maradék, ami itt 1. 9:4 = 2, marad 1. Most ha azt kérdezed tőlem, mennyi 12:4 – várj, rajzolok tizenkettő valamit, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 –, le is írom ezt: 12:4. Szóval fel akarom osztani ezt a 12 tárgyat – legyenek ezek almák vagy szilvák –, osszuk fel négyes csoportokra. Lássuk, hogy meg tudom-e csinálni. Ez egy négyes csoport, így, ez egy másik négyes csoport, így ni – ez eléggé egyszerű –, és egy harmadik négyes csoport. És most nincs maradék, úgy, mint az előbb. A 12-t pontosan fel tudtam osztani 3 négyes csoportra. 1, 2, 3 négyes csoport. Tehát 12:4 = 3. És megcsinálhatjuk fordítva is, mint az előbb: mennyi 12:3? Azok alapján, amit eddig tanultunk, mondhatjuk, hogy ez 4 lesz, mert 3·4 = 12. De inkább bizonyítsuk is be! Tehát 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Osszuk fel hármas csoportokra! Egy kicsit szabálytalanul fognak kinézni, szándékosan, hogy lássad, nem kell feltétlenül szabályos alakú csoportokra osztani. Ez egy hármas csoport itt. 12:3. Lássuk csak, itt egy másik hármas csoport, ezt veszem még egy hármas csoportnak, és akkor veszem ezeket is egy hármas csoportnak. Persze egyszerűbben is fel lehetett volna osztani, mint ilyen idétlen L alakú csoportokra, de csak azt akartam ezzel megmutatni, hogy a forma nem számít, az a lényeg, hogy hármas csoportok legyenek. Hány csoportunk is van? Van egy csoport, aztán itt van a második csoport, a harmadik csoport itt van, és itt van a negyedik csoportunk. Pontosan 4 csoportunk van. Amikor azt mondtam, hogy van egyszerűbb módja is a hármas csoportokra osztásnak, akkor csinálhattam volna így az 1, 2, 3, 4 hármas csoportot. Így vagy úgy, a 12 elemből hármas csoportokat csináltam. Csináljunk egy másik példát, mondjuk amiben lesz maradék. Na, akkor nézzük. Mennyi 14:5? Rajzoljunk 14 elemet! 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. 14 elem. Ezeket ötös csoportokra fogom osztani. A legkönnyebb úgy, hogy itt van egy ötös csoport, két ötös csoport. Viszont itt a végén csak 4 maradt, ezekből nem tudok ötös csoportot csinálni. Így ez lesz a maradék, méghozzá 4. 14:5 = 2, marad 4. Amikor elég gyakorlatot szerzel, akkor már nem fontos ilyen karikákat rajzolni, és felosztani őket. Persze azért nem hiba, ha felrajzolod. A feladat egy másik megközelítése lehet, hogy megpróbáljuk kiszámolni a 14:5-öt. Nem árt, ha ezt is megmutatom. Ezt úgy csináljuk, hogy megnézzük, hányszor van meg az 5 a 14-ben? Lássuk csak. 5-ször – fejben a szorzótáblát kell majd használnod – 5·1 = 5, 5·2 = 10 – ez még mindig kevesebb, mint 14, szóval az 5 legalább 2-szer megvan benne –, 5·3 = 15. Nos, ez nagyobb, mint 14, eggyel vissza kell lépnem. Az 5 kétszer van meg benne. 2·5 = 10. És most fejben kivonunk. 14 - 10 = 4. Ez ugyanaz a maradék, mint amit itt láttunk. A 14-ben az 5 megvan 2-szer, ezzel két ötös csoportot kaptunk, ami pedig csak 10, tehát így is marad 4.