Összetett trigonometria feladat: háromszög területe

Az ABC háromszög egy derékszögű háromszög, ahol AC egyenlő 7, BC egyenlő 24, és C-nél van a derékszög. Próbáljuk meg ezt lerajzolni! Rajzoljuk le a derékszöget! Lehet, hogy kell használnunk majd néhány koordinátát. Rajzoljuk a derékszöget az origóba! Mondjuk, hogy ez lesz itt a C. AC egyenlő 7-tel, vagyis az A itt lesz, ez a távolság itt 7 lesz. És akkor itt van a háromszögünk átfogója, ez lesz akkor a B. Ez a távolság pedig – a feladat szövege szerint BC egyenlő 24-gyel. Rendben.... Az M pont az AB felezőpontja. Az M pont tehát itt van – hadd rajzoljam ezt más színnel –, az M pont az AB felezőpontja. Ez a távolság tehát egyenlő ezzel a másik távolsággal. D pedig az AB ugyanazon oldalán van, mint a C. C tehát ezen az oldalon van, amire mondhatjuk, hogy az AB bal alsó oldala. AD pedig egyenlő BD -vel, ami egyenlő 15-tel. D tehát ezen a részen lesz valahol. Egyenlő távolságra lesz az A-tól és a B-től. Nyilván minden pont, ami egyenlő távolságra van A-tól és B-től egy egyenesen fog elhelyezkedni, ami valahogy így néz ki. Ez ugye az AB felezőpontja. D tehát valahol itt lesz. 15 egységre az A-tól és B-től is, valahogy így. Ez a távolság itt 15, ez a másik távolság szintén 15 lesz. Adott a CDM háromszög területe, tehát CDM területe... – ez itt a D –, vagyis erre a CDM háromszögre gondolnak. Megadták, hogy a CDM háromszög területe kifejezhető úgy, hogy m-szer gyök n osztva p-vel, ahol m, n és p pozitív egész számok, m és p pedig relatív prímek – ami annyit jelent, hogy nincs közös tényezőjük –, és n nem osztható semmilyen prímszám négyzetével – vagyis a gyököt már tovább nem egyszerűsítheted. Határozd meg az m plusz n plusz p összeget! Voltaképpen ki kell számolnunk a területét ennek a zölddel jelölt CDM háromszögnek. Nézzük. mit tehetünk, hogy meg tudjuk oldani! Megnézhetnénk néhány pontnak a koordinátáit. Ennek az A pontnak itt az x koordinátája 7 lesz. Felrajzolhatom a koordinátákat, csak hogy lásd, mit csinálok. Ez lenne az x tengely, ez az oldal pedig az y tengelyen van. Az A koordinátája (7; 0) lenne, C koordinátája (0; 0) lenne, B ponté pedig (0; 24) lenne. Eszerint az M koordinátája A és B átlaga lesz. Az M x koordinátája tehát 0 és 7 átlaga, vagyis 7/2, az y koordinátája pedig 24 és 0 átlaga, vagyis 12. Ezek idáig rendben van. Most nézzük, mit tudunk kitalálni az oldalakra! Tudjuk, hogy ez derékszögű háromszög. Az első reakciónk mindig az, hogy használjuk a Pitagorasz-tételt. Ismerjük ezt az oldalt és ezt az oldalt. Ha tehát az AB-t szeretnénk megkapni, mondhatnánk, hogy tudjuk, hogy 24 a négyzeten plusz 7 a négyzeten egyenlő AB négyzetével. 24-nek a négyzete 576, plusz 49 egyenlő AB a négyzeten. Lássuk csak, 576 plusz 49. Ha 50 lenne, akkor 626-ot kapnánk, de annál eggyel kisebb, vagyis 625. Tehát 625 egyenlő AB négyzetével. Az AB tehát 25 lesz. Ez a távolság itt, vagyis a nagy átfogó hossza, 25. Vagyis ennek a fele 25/2 lesz, B és M között. M és A között szintén 25/2 lesz a távolság. Na most, egy másik dolog, amit tudunk, hogy ez az M itt, a CMA háromszög, ez egy egyenlő szárú háromszög. Honnan tudjuk ezt? Nos, M, ha nézed az x koordinátát – az x koordinátája pontosan a C és az A x koordinátája között van, 7/2, az pont az átlag. Ez itt 7, ez pedig 0. Az M pont itt van, pontosan a befogó felezőpontja fölött. Ez tehát egy egyenlő szárú háromszög lesz. És szimmetrikus. Átfordíthatod a háromszöget. Ez a távolság tehát ... – és ez hasznosnak tűnik, mivel ez, mondhatni, az általunk keresett háromszög alapja, tekinthetjük ezt a CDM háromszög alapjának. Ez is 25/2 lesz. Ez egy egyenlő szárú háromszög. Ez ugyanakkora lesz, mint a másik oldal, mivel erre a tengelyre nézve szimmetrikus. Nézzük csak! Ismerjük az egyik oldalát ennek a háromszögnek. Lássuk, ki tudjuk-e számolni ezt az oldalát! Elég világosnak tűnik. Ez itt egy derékszögű háromszög lesz, mivel ez a DM egyenes merőleges lesz az AB-re. Mindegyik pont, amelyik egyenlő távolságra van az A-tól és B-től, egy olyan egyenesen lesz, ami merőleges az AB-re. Szóval ez egy derékszögű háromszög lesz. Tehát a Pitagorasz tételt felhasználva megkaphatjuk DM-et is. Azt kapjuk, hogy 25/2 a négyzeten plusz DM a négyzeten egyenlő lesz 15-nek a négyzetével, egyenlő lesz a háromszög átfogójának a négyzetével, vagyis 225-tel lesz egyenlő. Mit is kapunk? Azt kapjuk, hogy DM a négyzeten egyenlő 225 mínusz 625/4. Tegyünk ide is egy per 4-et. Vagyis a 225, ha 4 a nevező, ugyanaz lesz, mint 900/4. Az előző videóban valójában hibásan mondtam, hogy 900/4 az 125, nyilván nagy szarvashiba. Viszont ugyanazok az értékek vannak itt is. Szóval 225 nyilván 900/4. Ebből ugye levonjuk a 625/4-et, mínusz 625/4, ami pedig egyenlő lesz ... – nézzük csak – a számlálónkban 900 mínusz 625 van, ami 300 mínusz 25, vagyis 275/4 lesz. A DM pedig ennek lesz a négyzetgyöke, tehát egyenlő a 275/4 négyzetgyökével. 275 az 25-ször 11, mert 25-ször 12 az 300 lenne. Vagyis 25-ször 11 per 4. Ez egyenlő lesz 5-ször gyök 11 per 2. DM tehát 5-ször gyök 11 per 2. Na most, a következő lépés, hogy rájöjjünk, mi a magassága ennek a háromszögnek. Ha megkapjuk ennek a háromszögnek a magasságát, akkor nagyjából meg is volnánk. A terület az alap fele szorozva a magassággal, amit viszont nem ismerünk. Kiszámolhatjuk, ha ismerjük a koszinusztételt. Csinálhatunk itt valamit. Ha ismerjük ennek a szögnek a szinuszát – ennek a szinusza egyenlő lesz ez a magasság per az oldal, amit kiszámoltunk. Ha tehát kiszámítjuk ennek a szögnek a szinuszát, akkor meg is vagyunk, vagy nagyon közel leszünk a megoldáshoz. Viszont nincs egy egyértelmű módja, de tudunk kezdeni valamit ezzel a nagyobb háromszöggel itt – hadd emeljem ki! Ha tehát a BMC háromszöget nézed... – Hadd rajzoljam be a BMC-t! Nos, inkább csak rárajzolok erre a rajzra. Nem akarom túlzsúfolni. – Szóval a BMC háromszög. Tudjuk, hogy ez az oldala 25/2. Tudjuk, hogy ez az oldal is 25/2. Azt is tudjuk, hogy ez az oldal 24. És ki akarjuk számolni ennek a szögnek a szinuszát, théta szög, vagyis a CMD szög szinuszát. Na most, ez elég nehéz. Viszont, amit tudunk csinálni, hogy felírjuk a koszinusztételt théta és 90 fok összegére. Hadd rajzoljam meg újra a háromszögünket! A BCM háromszöget így tudnám újra megrajzolni. Ez valójában egy egyenlő szárú háromszög. Van tehát a BCM. És mi is ez a szög itt? Ez lesz a théta szög, ami minket érdekel, plusz 90 fok. Ez a szög itt tehát théta plusz 90 fok. Ez itt pedig 24, ez 25/2 és ez is 25/2. Ezeket felhasználva felírhatjuk a koszinusztételt, ahhoz, hogy kiszámoljuk mennyi is a théta. Csináljuk! Fogunk használni néhány trigonometrikus azonosságot is a koszinusztételen kívül. Tehát azt kapjuk, hogy a szöggel szembeni négyzete, vagyis 24 a négyzeten, 24 a négyzeten egyenlő 25/2 a négyzeten plusz 25/2 a négyzeten mínusz 2-szer 25/2-szer 25/2 szorozva ennek a szögnek a koszinuszával, szorozva – hadd görgessek oda – koszinusz (théta plusz 90 fok). Most azt mondod, hé Sal, tudod mit ... Ez itt théta plusz 90 fok koszinuszára vonatkozik. Hogyan fogjuk mi megkapni théta szinuszát? Az, ami minket valójában érdekel, hogy kiszámoljuk ennek a háromszögnek a területét, mármint, hogy megkapjuk ennek a háromszögnek a magasságát. Ahhoz, viszont rá kell jönni arra, hogy egy trigonometrikus azonosság szerint théta koszinusza egyenlő – nem thétát fogok használni, hogy ne legyen zavaró – koszinusz x egyenlő szinusz 90 mínusz x. Vagyis a théta plusz 90 koszinusza egyenlő lesz szinusz – hadd tegyem zárójelbe – 90 mínusz az, ami itt van. 90 mínusz théta mínusz 90, ami egyenlő – a 90-ek kiesnek – szinusz mínusz théta. Viszont tudjuk, hogy szinusz mínusz théta egyenlő mínusz szinusz thétával. Szóval ez itt leegyszerűsödik, ez ugye mínusz szinusz thétával lesz egyenlő. Ide írhatjuk, hogy szinusz théta. a negatív jelet pedig ide hozzuk, és így ez pozitív lesz. Szóval mire egyszerűsödik ez? Van nekünk 24 a négyzeten, ami 576. 576 egyenlő.. – nézzük csak! Nem fogok kihagyni egyetlen lépést sem itt. Van tehát 25/2 a négyzeten plusz 25/2 a négyzeten. Ez itt kétszer 25/2 a négyzeten plusz kétszer... ez is 25/2 a négyzeten lesz megint, szorozva szinusz théta. Most már csak meg kell oldanunk szinusz thétára. Ez tehát egyenlő lesz, nos, ez itt 576, ami egyenlő kétszer 25/2 négyzet – Csak kiemeltem ezt. – 1 plusz szinusz théta. Vagy akár eloszthatjuk az egyenlet mindkét oldalát ezzel itt. Előbb hadd egyszerűsítsem. Ez itt 625/4 lesz, amit még meg kell szoroznunk 2-vel, vagyis ez az egész itt 625/2 marad. Most osszuk el mindkét oldalt 625/2-del! És azt kapjuk, hogy 576-szor 2 per 625 – csak megszoroztuk mindkét oldalt a reciprokával – egyenlő ... – amikor megszorzod mindkét oldalt a reciprokával, ez ugyebár kiesik – egyenlő 1 plusz szinusz théta. Most kivonunk mindkét oldalból 1-et. Azt kapjuk, hogy szinusz théta egyenlő 576-szor 2, nézzük csak, 76-szor 2 az 152 plusz 1000, ez tehát 1152/625. Ez a rész volt itt, mínusz 1. 1 helyett viszont írjunk 625/625 -öt, vagyis mínusz 625. Ez egyenlő lesz – kell egy kicsit számolni ezen az oldalon – tehát 1152 mínusz 625. Itt 12 van, ez négy lesz, 10 mínusz 5 az 7, 4 mínusz 2 az 2, 11 mínusz 6 az 5. Vagyis egyenlő lesz 527/625. Nos, lehet, hogy nem jöttél még rá, de most már a célegyenesben vagyunk. Hadd rajzoljam le ezt a CDM háromszöget! Azt, amelyikre a feladat is fókuszál. És hadd rajzoljam kicsit másképp, csak épp egy kicsit másképp. Most tehát tudunk néhány nagyon érdekes dolgot a CDM-ről. Ez itt a C, ez a D, és ez az M. Ismerjük ezt az oldalt. Kiszámoltuk, hogy 5/2-szer gyök 11. Ez a DM hossza. Azt is tudjuk, hogy a CM itt 25/2. Azt szintén tudjuk, hogy ennek a thétának a szinusza egyenlő 527/625. Ezt számoltuk ki éppen. És ezt fel tudjuk használni arra, hogy kiszámoljuk ennek a háromszögnek a magasságát. Mivel tudjuk, hogy a szinusz az a szembeni per az átfogó, ha rajzolunk egy derékszögű háromszöget ide. Vagyis théta szinusza, ami 527/625, egyenlő a szemközti, ami a háromszög magassága, per az átfogó, per 5/2 -szer gyök 11. Most megszorozhatjuk mindkét oldalt 5/2-szer gyök 11-gyel. És azt kapjuk, hogy a háromszög magassága egyenlő 527/625 szorozva 5/2-szer gyök 11. – Nézzük csak, oszthatunk – 625 osztva 5-tel, az 125. Itt tehát 1 marad. Itt pedig 125 lesz. Ez tehát egyenlő 527-szer gyök 11 osztva 125-ször 2, ami 250. Ez a magasság. Na most, mi a területe a háromszögnek? Az pontosan az 1/2 alap szorozva a magassággal. A terület egyenlő 1/2 alap, ami 52/2, szorozva a magasság, amit épp most számoltunk ki, hogy 527-szer gyök 11 per 250. Nézzük! Elosztjuk 25-tel a számlálót. Elosztjuk 25-tel a nevezőt. Itt 10 marad. Ez tehát egyenlő 527-szer gyök 11 osztva 2-szer 2-szer 10, ami 40. Ez tehát a területünk. A teljes feladat pedig ... – Nem a területet akarták kiszámoltatni, azt akarták, hogy határozzuk meg az m plusz n plusz p-t, lényegében az 527 plusz 11 plusz 40-et. Vagyis 527 plusz 11 az ... – biztos akarok lenni benne – 538, ehhez még 40-et, az 578. És meg is volnánk.