Összetett trigonometria feladat: hatszög területe

Adottak az A (0; 0) és a B (b; 2) pontok a koordinátasíkon. Legyen az ABCDEF egy konvex egyenlő oldalú hatszög. A konvex azt jelenti, hogy nem konkáv. Egy konkáv hatszög valahogy így nézne ki. Ez két oldal, három, négy, öt, hat. Ez egy konkáv hatszög lenne. Ezt itt ugye kipattintjuk. És minden oldala egyenlő. Vagyis egy egyenlő oldalú hatszög. Nem mondják, hogy szabályos hatszög. Szóval azt nem tudjuk, hogy mindegyik szög egyenlő lesz-e. Viszont minden oldal egyenlő lesz. Úgy, hogy az FAB szög 120 fokkal egyenlő. Aztán megadnak egy rakás oldalt, amelyek párhuzamosak egymással. A csúcsok y koordinátái pedig különböző elemei a 0, 2, 4, 6, 8, 10 sorozatnak. A hatszög területe felírható úgy, hogy m-szer négyzetgyök n, ahol m és n pozitív egész számok, és n nem osztható semmilyen prím négyzetével. Ez egy elegáns megfogalmazása annak, hogy ezt a gyököt már nem lehet tovább egyszerűsíteni. Határozd meg m plusz n -et! Nos, először is lássuk, tudjuk-e ábrázolni ezt a hatszöget! Hadd rajzoljam le! Ismerjük az egyik pontot, azaz csúcsot: (0; 0). Hadd rajzoljam le az x tengelyt! Ez itt az x tengelyem. Pontosan itt. Ez pedig az y tengelyem. Az y tengelyem így nézne ki. y tengely. Tudjuk, hogy az A csúcs a (0; 0) pontban van. Ez itt az A csúcs. Azt is tudjuk, hogy mindegyik csúcs y koordinátája egy a 0, 2, 4, 6, 8, 10 számok közül, és ezek a sorozat különböző elemei. Ami azt jelenti, hogy nincs 2 olyan csúcs, melyeknek egyenlő lenne az y koordinátájuk. Tehát nem lesznek ugyanazon a vízszintes egyenesen. Hadd rajzoljam meg ezeket a vízszintes egyeneseket! Az x tengelyen lesz a 0. Aztán itt van az y egyenlő 2, majd a 4, aztán a 6 és a 8, és itt fenn a 10. Nos, a B-t már ismerjük. Először is, már felhasználtuk a 0-t az A-hoz. Tehát az A már felhasználta a 0-t. A B-hez rendeljük a 2-t. Az van megadva, hogy B y koordinátája 2. Tehát ezt is felhasználtuk. Lássuk, hogy le tudom-e rajzolni ide a B-t! Itt helyezkedik el ezen a vízszintesen valahol. És a hatszög oldalának a hossza s. Azt nem tudjuk, hogy mennyi ez a hossz, viszont mindegyik ugyanakkora. Nevezzük el ezt s-nek, így könnyebb lesz majd kezelni. Most, mivel tudom, hogy egyenlő oldalú a hatszög, minden oldala ugyanakkora hosszúságú lesz. Ide vesszük fel a (b; 2) koordinátákat. Nem tudjuk, hogy mennyi a b, de ez a B csúcsunk. Na most, az F a másik csúcs, ami össze van kötve A-val. F nem helyezkedhet el ezen a vízszintesen, nem lehet az y egyenlő 2-n. Nem helyezkedhet el az y egyenlő 6-on sem, mert akkor ez a távolság túl nagy lenne, jóval nagyobb, mint ez a távolság itt. Vagy voltaképp lehetne ott, de akkor nem volnánk képesek Ezért a következő csúcsnak ezen a vízszintesen kell elhelyezkednie. Tehát s távolságra lesz. Lehet, hogy valahogy így fog kinézni. Hadd rajzoljam meg! Tehát ez a következő csúcs. Ez az F csúcs. Mert úgy haladunk, hogy A, B, C, D, E, F majd vissza az A-ba. Ez így elfogadható. Mi lesz a C csúccsal? Nos, a C csúcs nem lehet a 4-es vízszintesen, tehát a 6-os vízszintesen kell lennie, tehát a C csúcs valahol itt lesz. Ez a C csúcs. És még egyszer, ez a hossz s, ez a hossz is s. Most mi a helyzet az E csúccsal? Nem lehet a 6-os vízszintesen, mert azt már elfoglalta a C csúcs. Tehát a 4 és 6 már foglaltak. Tehát a 8-as vízszintesen kell lennie. Tehát ennek a hossza is s. És azt is tudjuk, hogy visszatérünk a kezdőponthoz. Szóval pont itt van az E csúcs. És tudjuk, hogy visszajutunk a középpo... Mármint nem a középponthoz, hanem ugyanahhoz az x értékhez, ami az y tengelyen lesz. És ezt azért tudjuk, mert ennek a hossza s, és ennek a hossza is s, és mind a két átlós oldalnak ugyanakkora a függőleges vetülete. Ez az alap 4, ez az alap is 4. Tehát tekinthetjük úgy, hogy ez két derékszögű háromszög. Mindkettőnek az alapja 4 és az átfogója s, és ez az oldal itt közös oldal. Ez balra teszi meg ezt a távolságot, ez pedig visszafele teszi meg ugyanazt a távot. Na most, ugyanazt a logikát követve, ennek itt szintén vissza kell érnie. Most használhatjuk a 10-es koordinátát, a 10-es vízszintest, vagy 10-es y koordinátát – ez az egyetlen, amit még nem használtunk – a D-hez. Mivel s hosszat tettünk meg átlósan kifele, úgy, hogy közben 4-et haladtunk felfele, ugyanazon logika szerint – itt volt egy s hosszúságú átlónk, ami 4-et haladt felfele és ekkora távot kifele –, amikor visszafele mész a másik irányba, és 4-et haladsz felfele, ugyanakkora távot haladsz befele is. Ez tehát pontosan a B fölött lesz. D koordinátája lényegében (b;10) lesz. Az y koordináta itt 10. És meg is van a hatszögünk. Megvagyunk a hatszög megrajzolásával, és mindegyik párhuzamos feltétellel, amit megadtak. AB párhuzamos DE -vel, ami elég nyilvánvaló. BC párhuzamos EF -el. Aztán CD párhuzamos FA -val. Annak alapján, ahogy lerajzoltuk, úgy tűnik, ez így is van. Most ki kell számolnunk a területet, meg kell adnunk a hatszög területét. És jó kiindulópontnak tűnik az, ha ki tudnánk számolni, hogy mekkora az s. Az, hogy mekkora az s, az valójában attól fog függni, hogy mennyire van ez itt megdőlve. Rajzoljunk ... Azt láthatod, hogy ez nem egyenlő szögű (szabályos) hatszög, hanem amolyan ferdített. Egy kicsit el van ferdülve. Viszont mindegyik oldala ugyanakkora. Nevezzük ezt el thétának. Legyen ez a szög itt théta. Azt is megadták, hogy az FAB szög 120 fokos. Ez itt 120 fok. Vagyis ez a szög itt a bal oldalon 180 mínusz 120 mínusz théta lesz. Tehát 180 mínusz 120 az 60. Ez a szög tehát 60 mínusz théta. Na most, azért csináltam mindezt, mivel tudunk itt egyet s mást. Tudjuk, hogy itt 4-et haladtunk felfele. Azt is tudjuk, hogy itt 2-t haladtunk felfele. És ezt talán s kiszámolásához fel is használhatjuk. Mivel s lesz az átfogója mindkét derékszögű háromszögnek, amiket épp felvázoltam. Hadd rajzoljam le őket! Ezt a háromszöget valahogy így tudnám lerajzolni. Van tehát az s, van egy théta szögem és ez itt 2, ez ugye a jobb oldali derékszögű háromszög lesz. Ez a másik derékszögű háromszög így fog kinézni. Ez a szög 60 mínusz théta. Ez a magasság pedig 4. Nos, nézzük, mit tehetünk, hogy kiszámoljuk az s-t! Ez a bal oldali háromszög, ami itt a jobb oldalon volt, ez a háromszög a szinusz thétára azt adja, hogy szinusz théta egyenlő szemközti per átfogó, ami egyenlő 2 per s. Ez a másik háromszög azt mondja, hogy a szinusz – ne feledd, ez az átfogó itt szintén s –, szinusz (60 mínusz théta) egyenlő 4 per s. Ha egyenlővé akarjuk tenni ezeket egymással, megszorozhatjuk ennek mindkét oldalát 2-vel. Így mondhatjuk, hogy 2 szinusz théta egyenlő 4 per s. Szinusz (60 mínusz théta) szintén 4 per s, ezért egyenlővé tehetjük őket. Azt kapjuk, hogy 2 szinusz théta egyenlő szinusz (60 mínusz théta). És most használhatjuk valamelyik trigonometrikus azonosságot. Tudjuk, hogy szinusz A mínusz B az ugyanaz lesz, mint ... szinusz A mínusz B egyenlő lesz szinusz A szorozva koszinusz B, mármint a mi esetünkben théta. Vagyis szinusz (60 mínusz théta) ... – ez csak egy alapvető trigonometrikus azonosság, úgy nevezik, hogy addíciós tétel – mínusz koszinusz 60 szorozva szinusz théta. Ez pedig mind egyenlő 2 szinusz théta. Nos, 60 fok szinusza, az ugye négyzetgyök 3 per 2. 60 fok koszinusza 1/2. Most hozzáadhatunk mindkét oldalhoz 1/2 szinusz thétát. Mit is fogunk kapni? Tehát ha hozzáadunk 1/2 szinusz thétát, ez a tag kiesik, és itt az 1/2 szinusz thétát hozzáadod 2 szinusz thétához, ami valójában 4/2 szinusz théta. Ez tehát 5/2 szinusz théta lesz. Vagyis hozzáadtam ezekhez 1/2 szinusz thétát, és azt kaptam, hogy 5/2 szinusz théta egyenlő (négyzetgyök 3 per 2)-ször koszinusz théta. Rendben? Hozzádtam mindkét oldalhoz 1/2 szinusz thétát és ezt kaptam. Megszorozhatom mindkét oldalt 2-vel, csak hogy egyszerűsítsek. Így azt kapom, hogy 5 szinusz théta ... 5 szinusz théta egyenlő négyzetgyök 3 koszinusz théta. Most a szinusz négyzet théta plusz koszinusz négyzet théta egyenlő 1 azonosságot akarom használni. Úgyhogy hadd emeljem négyzetre mindkét oldalt! Az segíteni fog nekünk ennél a gyöknél is. Szóval, azt kapjuk, hogy 25 szinusz théta egyenlő ... Négyzetgyök 3 a négyzeten az 3. Koszinusz négyzet théta helyett írjuk azt, hogy ... – az ugye 1 mínusz szinusz négyzet théta, igaz? Koszinusz négyzet théta az 1 mínusz szinusz négyzet théta. Csak négyzetre emeltem mindkét oldalt. – Hadd írjam ide, amit csináltam! – Csak négyzetre emeltem mindkét oldalt. És azt kaptuk, hogy 25 szinusz négyzet théta egyenlő 3 mínusz 3 szinusz négyzet théta. Hozzáadhatunk 3 szinusz négyzet thétát mindkét oldalhoz, és azt kapjuk, hogy 28 szinusz négyzet théta egyenlő 3. Vagyis, szinusz négyzet théta – célegyenes – egyenlő 3 per 28. Vagy azt is írhatjuk, hogy szinusz théta egyenlő négyzetgyök alatt 3 per 28. Tehát egyenlő négyzetgyök alatt 3 per 28-cal. Na most, ezt még egyszerűsíthetnénk, 28 az 4-szer 7, és ezt kihozhatnánk, de ez most így megfelel, talán majd később, ha muszáj lesz. Néha így könnyebb dolgozni velük. Nos, nézzük csak! Megvan a szinusz théta. Ezt most összefüggésbe hozhatjuk ezzel az s-sel. Tudjuk azt korábbról, mielőtt még ebbe belebonyolódtunk, hogy szinusz théta egyenlő 2 per s. Vagy hogy s per 2, az egyenlő 1 per szinusz théta. Vagy hogy s egyenlő 2 per szinusz théta. Nos, azt is tudjuk, hogy szinusz théta az négyzetgyök alatt 3 per 28. Vagyis s egyenlő 2 per szinusz théta. Ez ugyanaz, mintha a szinusz théta reciprokával szoroznánk. Tehát ez 2-szer négyzetgyök alatt 28 per 3. Szóval megkaptuk az s-t. 2-szer ez a valami. Na most, ismerve az s-t, lássuk hogyan tudnánk kiszámolni a területet! Nos, az első, ami egyből feltűnik, hogy van ez a háromszögünk, aminek a magassága, vagy inkább mondhatnám, hogy az alapja, ha oldalról nézed, az alapja 8. Ezt a távolságot pedig itt ki kell tudjuk számolni a Pitagorasz tétel segítségével. Mivel tudjuk, hogy ez a távolság itt 4. Azt is tudjuk, hogy ez a távolság, az átfogó, az s. Ezt itt tehát tekinthetjük a magasságának (h). Mondhatjuk, hogy h négyzet plusz 4 a négyzeten – plusz 16 – az egyenlő az átfogó négyzetével, ami egyenlő s a négyzeten. s négyzet ... – s, az ez a valami itt. – Ha tehát s négyzetét akarjuk, az 4-szer 28 per 3 lesz. És csak kivonunk mindkét oldalból 16-ot. Tehát h egyenlő 4-szer 28 per 3, mínusz ... – ha akarom, írhatom a 16-ot per 3 formában, vagyis írhatok a 16 helyett valami per 3-at, az mínusz 48 per 3 lesz. Nézzük csak, nem muszáj megszoroznom a 28-at 4-gyel, mert a 48-at felírhatjuk úgy, hogy 4-szer 12. Tehát ez a számláló 4-szer (28 mínusz 12) per – ne feledd, ez h-nak a négyzete –, tehát h négyzet egyenlő lesz 4-szer (28 mínusz 12) per 3. Ami egyenlő 4-szer 16 per 3. Ami egyenlő 64 per 3. Ez h-nak a négyzete. Tehát h egyenlő ennek a gyökével, ami 8 per gyök 3. Azaz ez a h itt egyenlő 8 per gyök 3. Tehát ha ki akarom számítani ennek a résznek a területét ... De előbb határozzuk meg ennek a kis résznek a területét! Ez egyenlő lesz h-szor 4 ... – mindkét eset járható, de maradjon így – h-szor 4-szer 1/2. Tehát egyenlő lesz 2-szer – ennek a háromszögnek a területe ugye, hadd írjam ezt kékkel –, ennek a háromszögnek a területe az lesz, hogy h, ami 8 per gyök 3, szorozva 4-szer 1/2. Tehát ez itt 2-szer 8 per gyök 3, azaz 16 per gyök 3. Szóval ez itt 16 per gyök 3. Ebből viszont van egy halommal. Ennek a résznek itt, és ennek a résznek a területe pontosan ugyanakkora. Aztán itt van ez a rész, aminek szintén ugyanannyi lesz a területe. Ugyanaz a gondolatmenet, ugyanakkora az alap és a magasság. Tulajdonképpen egybevágók. Tehát van 4 ilyen háromszög. Szóval szorozni kell 4-gyel, ha meg akarjuk határozni ennek a résznek a területét, amit itt már besatíroztam. Tehát 4-szer ez, ami 64 per gyök 3. Most az egyetlen terület, amit ki kell még számolnunk, ennek a paralelogrammának a területe, itt középen. Ismerjük már a paralelogramma alapját. A paralelogramma alapja 8. Már csak a magasságát kell meghatározzuk. És ismét alkalmazhatjuk Pitagorasz tételét. Elnevezem ezt mondjuk h-nak. Használtuk már a h-t, de most megint fogjuk, de ne felejtsük el, hogy ez itt egy másik magasság. Ennek az alapnak a hossza 2. – Tudom, hogy nehezen lehet kiolvasni. – Szóval írhatjuk, hogy h négyzet plusz 4, – plusz 2 a négyzeten – egyenlő s négyzet. Már korábban meghatároztuk s-nek a négyzetét, ami 4-szer 28 per 3 volt. Vonjunk ki mindkét oldalból 4-et! Itt kiesik a 4, itt pedig lesz mínusz 12 per 3. Lássuk csak, 12 ugyanannyi, mint 4-szer 3. Tehát ez egyenlő 4-szer (28 mínusz 3), azaz 4-szer 25 per 3, ami egyenlő 100 per 3. Ez h-nak a négyzete. Tehát ez a h egyenlő lesz ennek a gyökével, ami egyenlő 10 per gyök 3. Tehát ez a távolság itt 10 per gyök 3. Ha tehát ennek a paralelogrammának kell a területe, akkor az egyenlő ez a magasság szorozva a paralelogramma alapjával. Tehát a paralelogramma területe 8-szor 10-szer gyök 3, azaz 80-szor gyök 3. – Oh nem, nagyon oda kell figyelnem – ez a magasság 10 per gyök 3. Tehát az egész paralelogramma területe 8-szor 10 per gyök 3, azaz 80 per gyök 3. Az egész területünk, ha mindent összeadunk, 64 per gyök 3 (ez a 4 háromszög), plusz 80 per gyök 3. Adjuk össze tehát. A paralelogrammáé 80 per gyök 3, plusz 64 per gyök 3 a háromszögeké. És ez összesen 144 per gyök 3. Gyökteleníthetjük a nevezőt. Tehát szorozzuk gyök 3 per gyök 3-mal, és a nevező egyenlő lesz 3-mal. 144 per 3 mennyivel egyenlő? 48-cal. Igaz? 3-szor 40 egyenlő 120, 3-szor 8 egyenlő 24. Tehát 48 gyök 3 lesz az egész hatszög területe. A képletben így 48 gyök 3 lesz. Ha ki akarjuk számítani (m plusz n)-t, akkor az 48 plusz 3, ami 51. Ez egy kimerítő feladat volt. Az agyam kezdett felforrni a vége felé. Néha majdnem elvesztettem a fonalat. Mindenesetre remélem, élvezted.