Összetett trigonometria feladat: maximum érték

A következő kifejezés maximumát kell meghatározni: 1 osztva (sin²Θ + 3-szor sin Θ cos Θ + 5-ször cos²Θ). Írjuk ezt most át másképp! Ez tehát 1 per, itt van a sin²Θ. Ilyenkor, amikor meglátok egy sin²Θ-t, nekem mindig azonnal beugrik, hogy keresnem kell egy cos²Θ-t, ugyanis tudom, hogy ezek összege 1 lesz. Na most, itt nem csupán egy cos²Θ van, hanem öt cos²Θ. Vegyünk ezekből egyet! Itt tehát jön a plusz cos²Θ. És mivel elvettem közülük egyet, már csak négy maradt. Vagyis plusz négy cos²Θ. És itt van még ez a rész, plusz 3 sin Θcos Θ. Ez az első lépés lehetővé tette, hogy az első két tagot a sin²Θ + cos²Θ = 1 miatt egyszerűsítsük 1-re. Tehát 1 per 1 meg – és itt most gondolkodjunk, hogy írhatnánk a cos²Θ-t. Ideírom ezt az azonosságot. cos²Θ = ezt már bebizonyítottuk más trigonometria videókban, hogy ez = 1 + cos(2Θ) osztva kettővel. És itt ugye az a célom, hogy ezt egyszerűsítsem. Talán egy kicsit számolunk. Egy kicsit számolni fogunk, hogy megtaláljuk a nevező minimum értékét, amely azután a tört maximum értékét fogja eredményezni. Nézzük csak, cos²Θ megegyezik ezzel itt. Így ennek a négyszerese, négy osztva kettővel, az kettő, kétszer ez a számláló, azaz 2 + 2 cos(2Θ). Legalábbis ez a rész. És aztán ennél a résznél, itt, itt használhatjuk azt a trigonometrikus azonosságot, miszerint sin (2Θ) = 2 sin Θcos Θ Vagy ha mindkét oldalt elosztjuk 2-vel, akkor azt kapjuk, hogy ½ sin (2Θ) = sin Θcos Θ. Ez a rész tehát itt ½ sin (2Θ) lesz. De itt hárommal szorzunk, így ez ³⁄₂ sin (2Θ) lesz. Nézzük most, ez a rész itt nyilván egyszerűsödik, ez itt három. Ha átírom, ez itt 1 osztva 3 + 2 cos (2Θ) + ³⁄₂ sin (2Θ). És ennek a minimumát keressük. A nevező minimum értékét keressük, ami ugyanazt eredményezi, mintha a tört maximumát keresnénk. Az ugyanis 1 per ez a minimum érték lesz. Szóval nézzük meg, milyen kicsi értéket érhetünk el, 0 fölött értve, milyen kicsi lehet ez a nevező. A minimum értéket keressük. Az egyik, amit tehetünk, hogy egyszerűsítünk, attól a minimum érték változatlan marad. Ennek a minimuma – nem akarok ide írni, mert az csak összezavarna – tehát a 3 + 2 cos (2Θ) + ³⁄₂ sin (2Θ) minimum értéke nem más, mint a minimuma a 3 + (és itt csak egy helyettesítést csinálok, 2Θ = x, ez csupán egyszerűbbé teszi egy kicsit, de nem muszáj így csinálni.) Szóval 3 + 2 cos x + ³⁄₂ sin x. Ez egy elég egyszerű kifejezés. Nézzük, hogy tudjuk meghatározni a minimum értékét! Arra hajlok, hogy vegyük a deriváltját, hogy megnézzük, hogy a derivált hol lesz egyenlő 0-val, az lesz a maximum vagy minimum hely. Nézzük tehát a deriváltat! A kifejezés x szerinti deriváltja: 3 deriváltja nulla, 2 cos x deriváltja −2 sin x, ³⁄₂ sin x deriváltja pedig ³⁄₂ cos x És ennek kell 0-nak lennie. Azt kell meghatároznunk, hogy hol lesz a meredekség 0, mert ott lesz a maximum vagy a minimum. Nézzük, mindkét oldalhoz hozzáadhatunk 2 sin x-et, így azt kapjuk, hogy ³⁄₂ cos x = 2 sin x. Ezután mindkét oldalt eloszthatjuk először kettővel. Nem akarok kihagyni túl sok lépést. Így ¾ cos x = sin x. Azután mindkét oldalt eloszthatjuk cos x-szel, így azt kapjuk, hogy ¾ = sin x / cos x, ami nem más, mint tg x. Nos, egy x érték, aminek a tangense ¾, lesz a maximum vagy a minimum hely. Gondolkodjunk el ezen! Hadd rajzoljak egy egységsugarú kört! Most nézzük meg x két értékét, amelyek tangense ¾-et ad eredményül! Lerajzolom tehát az egységkörömet, ez az. Ez itt egy egység. Mindig ez a legnehezebb rész, hadd rajzoljam meg. Rendben, ez itt az egységsugarú kör. Hogyan kapok egy háromszöget – gondolkodjunk így, hogyan kapok egy olyan háromszöget, amely egyik szögének a tangense ¾? Emlékszel, a tangens az a szemközti per melletti befogó. tangens = szemközti / melletti. Tehát ha ez itt a háromszögem, ha ez az x, akkor a szemközti per melletti egyenlő ¾. Akkor a szemközti lehetne 3, a melletti pedig 4. És remélem, ezt rögtön felismered, ez egy 3-4-5 háromszög, mivel derékszögű háromszögről van szó. 3² + 4² = 25 = 5², ez tehát egy 3-4-5 háromszög. Namármost, két tangens érték van. x lehet ez, illetve ennek nyilván nem egységnyi az átfogója, ha azonban mindent elosztunk öttel, akkor igen. Vagyis lehetne ez a helyzet, ha ez az x, ez az egységsugarú kör, az átfogó 1. Ez itt ³⁄₅, ez pedig ⁴/₅, tangens x pedig ¾ lesz. De ez most akkor a maximum vagy a minimum értéket jelenti? Nos, itt mind cos x, mind sin x pozitív lesz. Ez mindkettő pozitív érték, szóval ez valószínűleg a kifejezést maximalizálja. A másik x, amelyik ugyanezt a tangens értéket adja – emlékszel, ugye, a tangens valójában csak a sugár meredekségét jelenti az egységkörben –, ez a szög. Ennek ugyanakkora a tangense. Ez az x itt, ebben az esetben a tangens ugyanúgy ¾ lesz. Itt azonban a szinusz és a koszinusz is negatív. Az x koordináta, vagyis a koszinusz minusz ⁴/₅ lesz, és a szinusz, vagyis az y érték mínusz ³⁄₅. És ez adja meg a minimumot, mert itt mind a szinusz, mind a koszinusz negatív. Használjuk tehát ezt az x-et itt! És látod? Tulajdonképpen nem is kell kiszámolnunk az x-et, mivel tudjuk, hogy ha a tangens ¾, akkor a szinusz ³⁄₅ és a koszinusz ⁴/₅ lesz, ami megadja a maximumot. Vagy a tangens lehet ¾ úgy is, hogy a szinusz mínusz ³⁄₅, a koszinusz pedig mínusz ⁴/₅ lesz. Tehát használjuk ezeket! A minimum 3 + 2cos x – ezt használjuk itt, vagyis kétszer cos x, cos x értéke itt mínusz ⁴/₅ –, aztán még plusz ³⁄₂-szer sin x, sin x itt minusz ³⁄₅. Nos, mennyivel lesz ez egyenlő? 3 meg mínusz ⁸/₅ – talán írjuk így: 3 − ⁸/₅ − ⁹/₁₀. Ez akkor annyi, mint – ha mindenhol 10-et írunk a nevezőbe, 30 tized minusz 16 tized (ami a ⁸/₅), minusz 9 tized. Mennyi lesz akkor az eredmény? 5 tized, más szóval ½. Vagyis a nevezőnk minimum értéke – hiszen mindaz, amivel eddig foglalkoztunk, a nevezőről szólt – vagyis ennek az egész dolognak a minimum értéke ½ lesz. Tehát ez az egész kifejezés akkor lesz maximális, amikor ez a minimum ½. Azt kapjuk tehát, hogy 1 osztva ½-del, ami 2. És ezzel készen is vagyunk.