Összetett trigonometria feladat: számtani sorozat

Ha egy háromszög A, B és C szögei egy számtani sorozat elemei, és ha a, b és c – kisbetűs a, b és c – az oldalak hosszát jelölik, melyek egyenként a nagy A, nagy B és nagy C szögekkel szemben találhatók, akkor határozd meg az alábbi kifejezésnek az értékét! Nézzük csak, mit tudunk ebből kihozni! Rajzoljuk le előbb a háromszöget, hogy lássuk, a különböző betűk mit is jelölnek! Vannak tehát az A, B és C szögeink. Legyen ez a háromszögünk. Itt van tehát az A szög, a B és a C szög. Aztán a velük szemben levő oldalak a kisbetűs társaik. Nagy A-val szemben a kis a oldal lesz, nagy B-vel szemben a kis b, és a nagy C-vel szembeni oldal a kis c. Az első dolog, amit megadnak, az, hogy a háromszög nagy A, nagy B és nagy C szögei egy számtani sorozatnak az elemei, Számtani sorozat. Nagyon elegáns kifejezés, de minden számtani sorozat voltaképp olyan számok sorozata, ahol két szomszédos tag közt ugyanakkora a különbség. Hadd adjak néhány példát: az 1, 2, 3 egy ilyen számtani sorozat, 2, 4, 6 is egy számtani sorozat, ahol a növekmény mindig 2. De a 10, 20, 30 is számtani sorozat lesz. Ezek mind számtani sorozatok. Szóval csak annyit akarnak mondani, hogy A-tól a B szögig ugyanannyi van, mint B-től a C szögig. Nézzük, mit is jelent ez! Lássuk, mit árul ez el ezekről a szögekről! – Az is lehet, hogy semmit sem. – Tehát mondhatjuk, hogy ... ... mondhatjuk, hogy van az A szög, aztán van a B-vel jelzett szög ugye, amire mondhatjuk, hogy B egyenlő A plusz valami konstans. Nem tudjuk, hogy ez mekkora. Növekedhet 1-gyel, vagy 2-vel de lehet akár 10-zel is. Nem ismerjük, ezért legyen A + N. Aztán a C egyenlő lesz B + N-nel, ami ugyanaz, mint – mivel B egyenlő A + N, ezért itt A + N + N lesz –, ami egyenlő A + 2N. Mit tudunk ezzel kezdeni? Nos, a másik dolog, amit tudunk egy háromszög szögeiről, hogy az összegük 180 fokkal egyenlő. Tehát ezt, meg ezt, meg ezt összeadva 180 fokot kapunk. Nézzük csak! Van tehát az A plusz A + N plusz A + 2N, és ez egyenlő 180 fokkal. Van itt egy, kettő, három A, tehát 3A-t kapunk, plusz egy N és még kettő N, tehát 3A + 3N egyenlő 180 fokkal. Most mindkét oldalt eloszthatjuk 3-mal, és azt kapjuk, hogy A + N egyenlő 60 fokkal. Mit tudunk meg ebből? Nos, A akármi lehet még, mivel ha az N = 1, akkor az A = 59, ha pedig N = 10, akkor az A = 50 lesz. Szóval nem ad az A szögről túl sok információt. Viszont, ha ide felpillantasz, látod az A + N -et valahol? Látod bizony, pontosan itt. B = A + N Épp most számoltuk ki, hogy A + N egyenlő 60 fokkal. Tehát ezt az első információt felhasználva már elő tudunk állni valami konkrétummal. B pontosan 60 fokkal lesz egyenlő, a többi szám pedig sok minden lehet, Lehet például: 59, 60 és 61 Ez egy számtani sorozat. Figyelem, a B a középső lesz ugye. De lehet 50, 60 és 70, vagy lehet 40, 60 és 80, de bármi is legyen ez a számtani sorozat, a három szög összege 180 fok kell legyen, a középső pedig mindig 60 fokkal kell egyenlő legyen. Ez remek. Eddig remekül haladunk. Lássuk, mihez kezdünk a feladat következő részével! – Csak próbálok menteni egy kis területet a képernyőn. – Rendben. Szóval azt kérik tőlünk, hogy számoljuk ki az a / c・szinusz 2C – nagy C – + c / a・szinusz 2A kifejezést – Hadd írjam le, kékkel fogom írni. – a / c-szer szinusz két nagy C plusz c / a-szor szinusz kettő nagy A. Mivel is lesz ez egyenlő? Nos, amikor ilyesmit látsz, mint ez a 2-es itt és itt, olyankor – őszintén – a legjobb, amit tehetsz, hogy kísérletezel a trigonometrikus azonosságokkal, és figyeled, hogy előbújik-e valami használható. És itt már van is segítség, mivel a feladat első felében már megkaptuk, hogy a B mivel egyenlő. Viszont ez a kifejezés egyelőre nem tartalmaz B-t. Egyelőre tehát úgy tűnik, hogy ez az információ haszontalan. Viszont ha fel tudnánk ezt írni a B segítségével, akkor nagyot lépnénk előre, mivel már ismerjük a B szöget. Nézzük csak, mit tudunk csinálni! Az első dolog, amivel én kezdeném ... A szinusz 2A ugye ... – hadd írjam újra mindegyiket – Tehát szinusz kétszer bármi, az ugyanaz, mint ... – és azt hiszem, ezt úgy hívják, hogy kétszeres szög-képlet – ez tehát ... – lehet, hogy tévedek a pontos nevet illetően – szinusz kétszer valami az két szinusz valami szorozva koszinusz ugyanaz a valami. Ezt bármelyik trigonometria könyv belső borítóján megtalálod, meg néhány analízis könyvén is. Végezzük el ugyanezt erre is! Tehát ez a szinusz 2A itt úgy lesz, hogy 2 szinusz A-szor koszinusz A. Ez egy ismert trigonometrikus azonosság, amit a trigonometriánál már bizonyítottunk, talán több alkalommal is. Itt elöl ugye vannak még tényezők, a / c-szer van ez itt plusz c / a-szor ez itt. Na most, mihez is tudnánk kezdeni? Ne feledd, hogy közben azon kell gondolkodnunk, hogy hogyan tudnánk felhasználni ezt az információt, miszerint B egyenlő 60-nal. Hogyan tudnánk olyan alakra hozni, hogy B legyen benne? Amikor azon gondolkodom, hogyan kéne B-re átírni ezt, azt gondolom, nos, van itt egy háromszögünk, a háromszög oldalaira pedig – főleg, ha az nem derékszögű háromszög – a szinusztételt vagy a koszinusztételt tudnánk felírni. A szinusztétel... – hadd írjam ide le segítségképp – a szinusztétel azt mondja ki, hogy szinusz A per a egyenlő szinusz B per b, ami egyenlő szinusz C per c. Úgy tűnik, ezt fel is tudjuk használni. – Hadd írjam ide a koszinusztételt is, ha netán szükségünk lesz rá később! – A koszinusztétel szerint c² ... – hasonló a Pitagorasz-tételhez, azzal a kiigazítással, hogy ez a nem derékszögű háromszögekre is vonatkozik – tehát c² egyenlő a² + b² mínusz 2 ab・koszinusz C, nagy C. Ez tehát a szinusztétel és a koszinusztétel. Lássuk, hogyan tudnánk felhasználni ezeket arra, hogy ezt B segítségével fejezzük ki, amit ugye már ismerünk. Először is át tudnám ezeket írni úgy, hogy ebben szinusz C per c és ebben szinusz A per a legyen. – Hadd tegyem ezt! – Van ugye a 2a és a koszinusz C – hadd írjam ezeket külön –, lesz tehát 2a・koszinusz C, és ez szorozva szinusz C per c-vel, szorozva – fehérrel írom – szinusz C – ez itt nagy C – szinusz nagy C per kicsi c. Ez ugye ez a rész és ez a másik rész, amihez még hozzáadom, ugyanazt megcsinálom ezzel a felével is. Külön választom ezeket a részeket. Mármint a szinuszt akartam – hadd válasszam el. Különválasztom ezt a tényezőt és ezt a másikat, és azt kapom, hogy plusz 2c・koszinusz A szorozva szinusz nagy A per kicsi a. Mire lesz ez jó nekem? Nos, nézd csak a szinusztételt! Van ott egy szinusz C per c, az ez lesz itt, és van egy szinusz A per a, ez itt – nagy A per kicsi a –. Ez mindkettő egyenlő szinusz B per b-vel, vagyis haladunk. Elkezdtük beleírni B-t az egyenletbe, és pontosan ez az, amiről már rendelkezünk információval. Tehát ezt úgy írhatjuk, mint szinusz B per b. Vagyis ez ugyanaz, mint szinusz nagy B per kicsi b. És ez is ugyanúgy szinusz nagy B per kicsi b. És mindkettő meg van szorozva, azaz mindegyiket szorozzuk ezt 2a・koszinusz C -vel, plusz, ezt pedig 2c・koszinusz A -val. Szóval kiemelhetjük a szinusz B per b-t. Tegyük is meg, emeljük ki! Tehát ezt felírhatom úgy, mint 2a ... – ismerve a következő lépest, itt hagyok egy kis üres helyet – ... 2a・koszinusz C, plusz – ezek össze vannak szorozva, de hagytam egy kis helyet közöttük – plusz 2c・koszinusz A, és az egész szorozva szinusz B per b-vel. Már tudjuk, hogy B egyenlő 60 fokkal. Tehát ezt ki tudjuk számítani, nagyon könnyen. De inkább folytassuk, lássuk, hogyan tudnánk ezt itt kifejezni B segítségével! Ha megnézed, van itt 2a koszinusz C, 2c koszinusz A, ami kezd nagyon hasonlítani ..., mindkettő úgy néz ki, mint ez az oldal itt a koszinusztételben. Fejezzük is ki ezt a részt a koszinusztételből! Lássuk, mit tehetünk! Ha hozzáadunk mindkét oldalhoz 2ab koszinusz C-t, azt kapjuk, hogy 2ab koszinusz nagy C plusz c², ami egyenlő a² + b²-tel. És ha mindkét oldalból kivonunk c²-et, akkor azt kapjuk, hogy 2ab koszinusz C egyenlő a² + b² - c². És ez elég érdekes, később persze fel lehet cserélni a betűket, de ez itt nagyon hasonlít erre itt, ez pedig erre hasonlít, csak itt C helyett A van, mert kicseréltük a betűket. Ezt át is írhatjuk. Írjuk is át az érdekesség kedvéért! Átírhatom ezt úgy, hogy 2cb – pontosabban inkább csak felcserélem a betűket – szorozva koszinusz A – itt az a-kat és a c-ket felcseréljük egymással – egyenlő c² + b² - a². Ez nem a C oldal sajátossága, ugyanezt meg lehet tenni bármelyikkel. Amikor itt nagy C van, akkor elől a és b található, aztán az a² + b² - c². Amikor pedig A van, akkor elöl c és b található, és a²-et vonunk ki itt. Ez nagyon is hasznos, mert ez a tag itt majdnem ugyanúgy néz ki, mint ez a tag itt, csak annyit kell tegyünk, hogy b-vel megszorozzuk. Tegyünk így, szorozzunk b-vel! Szorozzuk meg az egész számlálót, vagyis ezt az egész kifejezést b-vel, lássuk mit kapunk! Kapunk itt egy b-t és lesz itt egy b. De nyilvánvalóan nem szorozhatunk meg tetszőlegesen egy kifejezést b-vel, mert megváltozik az értéke. Tehát amit tehetünk, hogy megszorozzuk a kifejezést b-vel, – amit már meg is tettünk, beszúrtuk ide a b-ket – de ugyanakkor osztunk is b-vel. Tehát osztani fogok b-vel, ami azt jelenti, hogy szorzom a nevezőt b-vel, nem pedig b²-tel... Tehát szorozzuk a nevezőt b-vel, ami azt jelenti, hogy el is osztom a kifejezést b-vel. Tehát szoroztunk is és osztottunk is b-vel. Így a nevezőben b² lesz. Hova vezet ez? Nos, ez a tag itt pontosan ugyanaz, mint ez itt fent. Vagyis a² + b² - c². És ez a tag itt pontosan ugyanaz, mint ez a másik, a koszinusztétel szerint. Szóval plusz c² + b² - a², és az egész megszorozva szinusz nagy B per b² -tel. Nos, ez mit jelent? Van egy a² és egy mínusz a², a dolgok kezdenek egyszerűsödni. a², mínusz a², itt van egy mínusz c², és plusz c². Mi maradt? Marad két b². Tehát az egész kifejezés leegyszerűsödött az alábbiakra: két b² szinusz B – nagy B ugyebár – per kicsi b négyzet. Ezek kiesnek, tehát az egész kifejezés 2 szinusz B-re egyszerűsödött. És már az elején megkaptuk, hogy mennyi a B, tudjuk, hogy egyenlő 60 fokkal. Szóval ez egyenlő kétszer szinusz 60 fokkal. És ha nem jegyezted volna meg 60 fok szinuszát, bármikor felvázolhatsz egy 30-60-90-es háromszöget. Hadd rajzoljam ide – derékszögű háromszög lesz, az egyik szöge 60 fok, az átfogója 1 lesz – egységnyi sugárhosszal dolgozunk –, a másig szöge 30 fok, a 30 fokkal szembeni oldal ½ lesz, a 60 fokkal szembeni oldal az ennek a √3 -szorosa, vagyis √3/2. A Pitagorasz tétellel is ki tudod számolni, ha ismered az egyik befogót, ki tudod számolni a másikat. A szinusz a szemközti per átfogó, vagyis √3/2 osztva 1-gyel, ami ugye √3/2. Ez tehát egyenlő 2-szer – ez már a célegyenes, nagyon izgalmas – √3/2, ezek kiesnek, így marad a √3. Ez egy elég szellemes feladat. Ha kíváncsi vagy, ez a 2010-es IIT feladatok egyike. Az IIT egy színvonalas mérnöki- és tudományegyetem hálózat Indiában. Ezt a feladatot kapja több százezer diák, és körülbelül a top kétezer kerül be végül valamelyik IIT-re. Azt hiszem, ez egy elég jó kis feladat volt.