Összetett trigonometria feladat: egyenletrendszer

Határozd meg, hogy hány lehetséges értéke van thétának, ha tudjuk, hogy théta nulla és pi között van, és amelyre az alábbi egyenletrendszernek: (y + z)・koszinusz 3θ = (x y z)・szinusz 3θ x・szinusz 3θ = (2 koszinusz 3θ) / y + (2 szinusz 3θ) / z (x y z) szinusz 3θ = (y + 2z) koszinusz 3θ + y szinusz 3θ van egy (x₀, y₀, z₀), megoldása, ahol y₀・z₀ ≠ 0, ami voltaképp azt jelenti, hogy egyik sem lehet egyenlő nullával. Nos, ez elég ijesztőnek tűnik, ezért szeretném egyszerűbbé tenni, amennyire csak lehet. Két dolgot akarok tenni. Ezek közül mindegyik szögfüggvény 3 thétának veszi a szinuszát vagy a koszinuszát, ahol théta nulla és pi között van. Helyettesítést fogok alkalmazni. Ezt csak magamnak csinálom, mivel leegyszerűsíti a gondolatmenetemet. Alkalmazzunk egy helyettesítést, miszerint u egyenlő... Legyen u = 3θ. Ez az u – ha théta nulla, u is nulla lesz –, tehát u szintén nagyobb lesz, mint nulla, amikor pedig a théta pi, akkor az u kisebb kell legyen, mint 3 pi. Vagyis meg kell találjuk a nulla és 3 pi közötti u-k számát, amire igaz, hogy (y+z) koszinusz u = xyz szinusz u és így tovább ... Végezzük el ezt a behelyettesítést, és egy kicsit át is rendezem ezt úgy, hogy barátságosabban kezdjen el kinézni. Nézzük meg azt is, mit tudnánk művelni ezekkel az egyenletekkel, és próbáljunk meg kiejteni tagokat, ha lehet. Kezdjük ezzel a felsővel! Csak hogy egyszerűbb tagokat kapjunk, hadd szorozzak be itt a koszinusz 3θ -val, amit ugyebár most már koszinusz u -val jelölünk. – hadd írjam át – Ez is u, ez is u, ez is u lett, ez is u, u, u, u és u. Ha tehát beszorzunk koszinusz u -val, az lesz ebből, hogy koszinusz u ... – hadd tegyem az y-t előre – Tehát: y・koszinusz u + z・koszinusz u = xyz・szinusz u Ez lett az első egyenletből. Ez a második egyenlet úgy néz ki, mint ... Nos, ha megszorozzuk az egyenlet mindkét oldalát yz-vel, akkor xyz・szinusz u -t fogunk kapni a jobb oldalon, ami pont ugyanaz, mint ami itt van nekünk. Akkor szorozzuk is be mindkét oldalt xyz-vel! Mindkét oldalt. Az egyenlet jobb oldalán... – Dehogyis, NEM xyz-vel, hanem csak yz-vel. – Tehát megszorozzuk ennek az egyenletnek mind a két oldalát yz-vel. Ezek itt a nevezőkből el fognak tűnni, mivel szorozzuk a jobb oldalt is yz-vel. A bal oldalon xyz・szinusz u lesz. Hadd írjam erre az oldalra! Ez tehát xyz・szinusz u, majd yz-szer 2 koszinusz u per y -ból marad 2z・koszinusz u. Tehát 2z・koszinusz u – csak felcseréltem az oldalakat –, majd yz-szer 2 szinusz u per z -ből az lesz, hogy 2y・szinusz u. Ez volt tehát a második egyenlet. Most már nem is tűnnek annyira különbözőnek. Amikor így voltak felírva, teljesen különbözőnek tűntek. Nézzük most az utolsót! Ezen az oldalon xyz・szinusz u van. – Rózsaszínnel fogom írni. – Ez az egyenlet xyz・szinusz u – ide a jobb oldalra fogom írni –, xyz・szinusz u egyenlő, nézzük csak, van itt 2z – szorozzunk be ezzel a koszinusz u-val – lesz tehát 2z・koszinusz u... ... + y・koszinusz u... – ez ugye ez -szer ez – ... + y・szinusz u – hadd görgessek kicsit balra – ... y・szinusz u. Átírtam tehát ezt a három egyenletet. A feladat most már sokkal kevésbé ijesztő. Most határozzuk meg azon nulla és 3 pi közötti u-k számát, amelyek megoldásai ennek! Nézzük csak! Mind a három egyenlet egyenlő ezzel a kifejezéssel itt a jobb oldalon, ezért az egyenletek bal oldala meg kell, hogy egyezzen, mivel mindegyik ugyanazzal az értékkel egyenlő. Nézzük csak, mit tehetnénk annak érdekében, hogy ezt az oldalt kiejtsük. Mi lenne ha felhasználnánk, hogy... – ez itt egy plusz jel, nem tudom miért írtam egyenlőt – mi lenne, ha felírnánk, hogy ez egyenlő azzal. Vegyük először ezt az alsó kettőt. Ez a rész tehát, vagyis 2y・szinusz u + 2z・koszinusz u egyenlő ezzel, ami ugyanaz, mint ez, ezért egyenlő lesz: y・szinusz u + y・koszinusz u + 2z・koszinusz u. Mindkét oldalon van 2z・koszinusz u-nk, szóval a z-s tagok kiesnek. Aztán van egy 2y・szinusz u és egy y・szinusz u, ha tehát kivonunk mindkét oldalból y・szinusz u -t, y・szinusz u marad. Kivontuk ugye mindkét oldalból. Itt kettő y... mínusz y・szinusz u, itt csak y・szinusz u marad, ami egyenlő y・koszinusz u. Ahhoz, hogy ennek legyen megoldása, hogy a kifejezés megoldható legyen – ne feledd, y nem lehet egyenlő nullával –, ahhoz hogy megtaláljuk a megoldást, y szorzóinak egyenlőnek kell lennie egymással. szinusz u egyenlő kell, hogy legyen koszinusz u-val. Szóval ez az egyik feltétel: szinusz u egyenlő kell, hogy legyen koszinusz u-val. Gondoljunk az egységnyi sugarú körre, és gondoljuk át, hogy hányszor lesz egyenlő egymással a szinusz és a koszinusz nullától indulva egészen 3pi-ig! Itt van tehát az egységnyi sugarú köröm. Az világos, hogy 45 foknál a szinusz és a koszinusz egyenlő egymással, a 45 fok az ugyanaz, mint pi/4. Ott tehát ugyanannyi mindkettő, ezért gondolhatnád, hogy itt is egyenlőek lesznek, viszont itt a koszinusz negatív, a szinusz pozitív, erre tehát nem igaz. Itt már mindkettő negatív, és egyenlők is. Ez tehát egy másik jó szög. Erre itt megint nem működik. Eddig tehát 2pi-t haladtunk körbe. Ha még megyünk egy félkört, elérjük a 3pi-t. Vagyis visszaértünk ehhez, ismét ehhez az értékhez. Van tehát egy, kettő és amikor ismét elindulsz körbe, van egy harmadik is, ezt itt pedig már nem érjük el, mivel nem mehetünk csak... – hadd használjak itt egy másik színt – mivel csak 3pi-ig mehetünk. Ez eddig 2pi lesz ugye, és innen még egy felet haladva az már 3pi. Van tehát egy, kettő, három értékünk. Tehát 3 lehetséges u értékünk van. Ezt kaptuk ebből a feltételből, csak a kék és rózsaszín egyenleteket használva. Most nézzük csak meg ... ... bizonyosodjunk meg, hogy nincs-e több ... nincs-e egyéb megkötés is itt. Nézzük, lehet-e ... Használjunk másik két egyenletet! Annál, amelyiket én szeretném használni, úgy tűnik, lesz néhány egyszerűsödés. Nos, használhatnánk... ... használhatnánk ezt vagy akár ezt a tagot, y・koszinusz u + 2z. Ja. Miért is ne? Vegyük ezt! Amennyiben mindhárom egyenletet felhasználjuk a feltételeinkhez, az összes megoldást jól körül tudjuk határolni. Gondoljuk csak át! Ez egyenlő ezzel, ami megegyezik ezzel, ami pedig egyenlő ezzel. Tehát írhatjuk, hogy y・koszinusz u + z・koszinusz u egyenlő ezzel az egész valamivel itt, vagyis egyenlő y・szinusz u + y・koszinusz u + 2z・koszinusz u. És mindkét oldalon lett egy y・koszinusz u, azok ki fognak esni. Kivonhatunk mindkét oldalból z・koszinusz u-t. z・koszinusz u-t kivonva mindkét oldalból, azt kapjuk, hogy nulla egyenlő y・szinusz u plusz z・koszinusz u. Ez pedig egy elég emberséges kijelentésnek tűnik. y・szinusz u + z・koszinusz u = 0 – Hadd győződjek meg róla! – Az, hogy y・szinusz u + z・koszinusz u = 0, azt jelenti, hogy ennek a kétszerese is nulla lesz. Ez tehát megegyezik 2y・szinusz u + 2z・koszinusz u = 0 -val. Egyetlen okból szoroztam be kettővel: azért, mert most teljesen úgy néz ki, mint ez itt. Tehát, amikor ezt és ezt az egyenletet használtam fel, azt a megkötést kaptam, hogy ez a kifejezés itt valójában meg kell, hogy egyezzen nullával, és ez a kifejezés is meg kell, hogy egyezzen nullával, ami rendben is van. Mivel vagy az u szinusza lesz nulla, vagy az x lesz nulla. Ne feledd, az x-re nem adtak semmi megkötést. x lehet nulla, ez tehát egy jó megkötés. x valóban lehet nulla, amitől ez a rész itt nullával lesz egyenlő. Tehát nem korlátozza jobban az eddigi kikötéseket. Most már felhasználtunk minden információt, amit a feladat megadott. Mind a három egyenletet felhasználtuk ahhoz, hogy megtaláljuk a közös... hogy milyen feltételei vannak az egyenletrendszer megoldásának. Az egyetlen valódi feltétel pedig az, hogy szinusz u-nak egyenlőnek kell lennie koszinusz u-val, és csak három lehetséges u érték teljesíti ezt a feltételt nulla és 3pi között.