Az inverz tangens függvény értelmezési tartománya és értékkészlete

Azt kérik tőlünk, hogy határozzuk meg a g(x) = tan(x-3π/2)+6 függvény inverzét. Ide kell majd begépelnünk a választ. Azt is kérik, hogy adjuk meg az inverz g(x) függvény értelmezési tartományát (ÉT). Itt van a kis jegyzettömböm, amiben megpróbáljuk ezt kidolgozni. Határozzuk meg, hogy mi g⁻¹(x) azaz g(x) inverze! Ez itt g(x), és ennek az inverzét kérdezik. Tehát a g(x)= tan(x-3π/2)+6. Lényegében g(x) inverzét megkaphatom úgy, hogy az x helyére behelyettesítem a g⁻¹(x)-et, a g(x) helyére pedig az x-et, aztán pedig a g⁻¹(x)-et kifejezem az egyenletből. Így tehát írhatjuk azt, hogy x = tan(g⁻¹(x) - 3π/2)+6. Most pedig rendezzük az egyenletet g⁻¹(x)-re! Biztatnálak, hogy állítsd le a videót és próbáld megoldani magadtól! Vonjunk ki 6-ot mindkét oldalból, hogy legalább attól megszabaduljunk! Így azt kapom, hogy x-6 = tan(g⁻¹(x) - 3π/2). Most pedig vegyük az egyenlet mindkét oldalának az inverz tangensét! Az inverz tangense a bal oldalnak az lesz, hogy tan⁻¹(x-6), a jobb oldalon pedig a tangens inverz tangense a kérdés. Ha megfelelően leszűkítjük az értelmezési tartományt ‒ amit hamarosan részletezünk is ‒, akkor a megoldás az az érték lesz, amit a tangens függvénybe helyettesítünk. Tehát, ha megfelelően leszűkítjük az értelmezési tartományt, akkor valami tangensének az inverz tangense, mondjuk például thétáé, az maga a théta lesz. Még egyszer! Ez akkor igaz, ha megfelelően leszűkítjük az értelmezési tartományt, azaz azt, hogy théta milyen értékeket vehet fel. Feltételezzük, hogy ezt már megcsináltuk, így a kifejezés tangensének inverz tangense az ez lesz itt belül. Ez lesz itt: g⁻¹(x) - 3π/2. Most már a célegyenesben vagyunk. Hogy kifejezzük g⁻¹(x)-et, mindkét oldalhoz adjunk hozzá 3π/2-t! Felcserélem a két oldalt. Azt kapjuk, hogy g⁻¹(x) = tan⁻¹(x-6) és még hozzáadjuk a 3π/2-t mindkét oldalhoz, az oldalakat megcseréltük, így itt lesz a +3π/2. Be is gépelem ezt, csak először meg kell jegyeznem, mert el fog tűnni a képernyőm. Tehát tan⁻¹(x-6) +3π/2. Itt be is gépelem. Inverz g(x) egyenlő az inverz tangens, amit így írhatok be: tan⁻¹(x-6) látom, jól értelmezte amit beírtam ‒ ezt arkusz tangens (x-6)-nak is mondhatjuk akár ‒, +3π/2. Igen, ezt is jól olvasta be. De aztán el kell gondolkodnunk, hogy mi a g⁻¹(x) értelmezési tartománya. Gondolkodjunk el ezen... g⁻¹(x) értelmezési tartománya. Gondoljuk át, hogy mit is csinál a tangens függvény! Ha elképzelünk egy egységkört, ami ez itt... képzeljük azt, hogy ez valóban egy egységkör, habár a tollam akadékoskodik egy kicsit, és közöket hagy ott, ahol nem kéne, sebaj, azért elviselhető. Fogjuk rá, hogy ez egy egységkör! Ez az x tengely, ez az y tengely. Ha veszünk itt egy θ szöget valahol, akkor tan(θ) nem más, mint a forgó szögszár meredeksége. Végül is mondhatjuk akár végszárnak is. A szöget ez a szögszár határozza meg és az x tengely pozitív fele. Tan(θ) pedig nem más, mint ez a meredekség itt. Bármilyen szögnek vehetjük a tangensét, néhány kivételével. Tehát ennek vehetnénk a tangensét, ennek is van meredeksége, meg ennek is van. Itt is látunk meredekséget, és itt is. Ott viszont nem találjuk a meredekséget, ahol a szögszár egyenesen felfelé vagy egyenesen lefelé megy. Ezek azok az esetek, ahol nem találunk meredekséget. Itt mondhatnánk, hogy a meredekség közelít a pozitív vagy negatív végtelen felé. A tangens értelmezési tartománya így nem más, mint a valós számok halmaza, kivéve π/2+π többszörösei, jobban mondva π/2 + π・k, ahol k bármely egész szám lehet, tehát akár negatív is. Ha adott a π/2, és hozzáadunk π-t akkor ide lejutunk, plusz π, és ismét fent vagyunk, mínusz π, és ismét lent, megint mínusz π, és ismét itt fent vagyunk. Ez itt az értelmezési tartomány, ezzel viszont bármely valós számot megkaphatunk. Tehát az értékkészlet az összes valós szám lesz, mert bármilyen meredekséget megkaphatunk itt. Növeljük θ-t, ha nagyobb meredekséget akarunk, vagy csökkentjük θ-t, ha negatív meredekséget akarunk, igazából bármely számot megkaphatunk. Amikor viszont az inverz tangensen gondolkodunk... hogy a tangens függvény invertálható legyen, az kell, hogy ne tartozzon az értelmezési tartomány több eleméhez ugyanaz az elem az értékkészletben, mert például ennek a szögnek itt ugyanaz a meredeksége, mint ennek itt, és ha két thétához ugyanaz a tangens érték tartozik, úgy nem invertálható. Ha nem szűkítjük le az ÉT-t úgy, hogy az értékkészlet minden eleme az ÉT csak egy eleméhez tartozzon, akkor nem lesz invertálható. Úgy szokás a tangenst invertálhatóvá tenni, hogy leszűkítjük az értelmezési tartományát a -π/2, π/2 nyílt intervallumra, hogy az inverz tangenst értelmezhessük . Az inverz tangensbe bármilyen valós számot behelyettesíthetünk, azaz az inverz tangens értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Amúgy másként is leszűkíthető a tangens ÉT-a, ha az adott ÉT-ban minden thétához egyedi érték van rendelve az értékkészletben, a szokás viszont az, hogy a ]-π/2, π/2[ intervallumra szűkítjük le a tangens ÉT-át. Így hát az inverz tangensnek az ÉT-a lesz a valós számok halmaza, az értékkészlete pedig a leszűkített. Az értékkészlet a megállapodás szerint a ]-π/2, π/2[ nyílt intervallum lesz. Nézzük meg az eredeti kérdésünket! Mi a g(x) inverzének az értelmezési tartománya? Nézzük hát meg, mi lesz ez! Mi a g(x) inverzének az értelmezési tartománya? Hát, ide bármilyen valós számot beírhatnék. Persze a kapott érték a -π/2 és π/2 között lenne, de nem az értékkészletét kérdezik az inverz g(x)-nek, habár az érdekesebb kérdés lett volna, hanem az értelmezési tartományát kérdezik. Márpedig bármilyen valós szám beírható az x helyére, úgyhogy írjuk ezt be ide. A g⁻¹(x) értelmezési tartománya a ]-∞,∞[ nyitott intervallum. Szórakozásképpen viszont ‒ először nézzük meg, hogy helyes-e a megoldásunk! És igen, az. De a poén kedvéért ‒ kíváncsi vagyok ‒ gondoljuk végig, mi lesz g⁻¹(x) értékkészlete! Ennek a résznek az értékkészlete -π/2 és π/2 között van, és aztán még hozzáadunk 3π/2-t. Így ennek a teljes függvénynek az értékkészlete ez lesz: az alsó határa, ha ehhez a -π/2-hez hozzáadjuk a 3π/2-t, akkor 2π/2 lesz, ami csak π, igen, 3π/2 - π/2 az 2π/2, ami csak π. Tehát π-től megyünk egészen π/2+ 3π/2-ig, ami 4π/2, azaz 2π. Tehát az inverz g(x) értékkészlete ]π, 2π[, az intervallum nyitott, nem tartoznak bele a végpontok. Az ÉT pedig ‒ x helyére bármilyen számot írhatsz, minden értékre értelmezve lesz.