Az arkusz tangens függvény

Az előző videóban azt mutattam meg, hogy mi lenne, ha valaki odamenne hozzád és megkérdezné, mi az arkusz szinusz, az arkusz szinusz x. És ez egyenlő lesz valamennyivel. Ez ugyanaz, mintha azt mondanám, hogy valamely szög szinusza egyenlő x-szel. És meg is oldottunk egy pár példát az előző videóban. Ugyanezt az elvet alkalmazva – de hadd mutassam meg! Írhatom ezt úgy is, hogy az x szinuszának inverze mivel egyenlő. Ezek egyenrangú állítások, az inverz szinusz függvény leírásának két különböző módja. Ez a szinusz függvény inverze, ezt nem kell -1-re emelned, ezzel csak annyit mondasz, hogy a kérdőjel szögnek a szinusza egyenlő x-szel. Ezt csináltuk az előző videóban. Ugyanezt a módszert alkalmazva, ha odamegyek hozzád az utcán, és azt kérdezem, hogy az x tangense, vagyis az x inverz tangese mivel egyenlő, rögtön gondolhatod, hogy amit igazából kérdezek, amit mondok, az az, hogy valamilyen szög tangense egyenlő x-szel. Neked meg csak azt kell kitalálnod, hogy mi az a szög. Csináljunk egy példát! Mondjuk, hogy odamegyek hozzád az utcán, és azt kérdezem, hogy mennyi a -1 arkusz tangense. Vagy akár úgy is kérdezhettem volna, hogy mennyi a -1 inverz tangense. Ezek azonos kérdések. Annyit kell csak csinálnod, ha nem tudod fejből, hogy rajzolsz egy egységkört. Hadd emlékeztesselek rá, hogy mit is jelent a tangens! A théta szög tangense – ez egy egyszerű, nem inverz tangens függvény – egyenlő szinusz théta osztva koszinusz thétával. A szinusz théta az y érték az egységkörön, a koszinusz théta pedig az x érték. Ha rajzolsz egy vonalat – hadd rajzoljak egy kis egységkört ide! Van egy ilyen egységköröm, és valamilyen szögnél vagyok, mondjuk ez a théta szögem. Ezek pedig az x, y koordináták. Már tudjuk, hogy az y érték az a szinusz théta. Görgetek egy kicsit. Szinusz théta. És azt is tudjuk, hogy az x érték a koszinusz théta. Szóval mi lesz a tangens? Ennek a távolságnak és ennek a távolságnak a hányadosa lesz. Vagy lehet, hogy beugrik algebrából, mert az origóból, a nulla pontból indulunk, ez tulajdonképpen az y változása osztva az x változásával. Ezeknek a hányadosa. Vagy nézheted a tangens thétát úgy is, mint ennek az egyenesnek a meredeksége. A meredekség. Írhatod úgy is, hogy a meredekség egyenlő a tangens thétával. Próbáljunk erre emlékezni, amikor megyünk a feladatra! Azt kérdezem tőled – leírom újból ide –, hogy mennyi a -1 inverz tangense, vagy átírhatom úgy, hogy a -1 arkusz tangense. Azt kérdezem, hogy mi az a szög az egységkörön, amihez -1 meredekség tartozik? Rajzoljuk le az egységkört! Rajzoljunk egy ilyen egységkört! Ezek lesznek a tengelyeim. És a meredekség -1. A -1 meredekség így néz ki. Ha így nézne ki, akkor a meredekség plusz 1 lenne. Szóval ez melyik szög lesz? Ahhoz, hogy a meredekség -1 legyen, ennek a távolságnak egyenlőnek kell lennie ezzel a távolsággal. És lehet, hogy már észre is vetted, hogy ez egy derékszög. így ezeknek a szögeknek meg kell egyezniük. Tehát ennek a háromszögnek a belső szögei 45, 45 és 90 fokosak, ez egy egyenlő szárú háromszög, ennek a kettőnek az összege 90 fok kell, hogy legyen, és egyenlőknek kell lenniük egymással, ez tehát 45, 45, 90. És ha ismered ezeket a szögeket – tulajdonképpen nem is kell ismerned az oldalakat. Az előző videóban láttuk, hogy ez itt, ez a távolság √2 / 2 lesz, így ez a koordináta az y irányban pedig -√2 / 2. És ez a koordináta itt az x irányban √2 / 2, e miatt a hossz miatt itt. Szóval a √2 / 2 négyzete plusz a √2 / 2 négyzete egyenlő 1-nek a négyzetével. De amit fontos, hogy belásd, hogy ez egy háromszög 45, 45, 90 fokos szögekkel, így ez a szög itt – ha csak ránézel magára a háromszögre, megállapíthatod – 45 fokos. De miután mi az óramutató járásával megegyezően megyünk, az x tengely alá, ez -45 fokos szög. Így a -45° tangense – hadd írjam le! Ha fokban vagyok, és általában így szoktam gondolkodni, írhatom úgy, hogy a -45 fok tangense ez a negatív érték, -√2 / 2, osztva √2 / 2-vel, ami egyenlő -1-gyel. Vagy írhatom azt, hogy a -1 arkusz tangense egyenlő -45 fokkal. Ha meg radiánban dolgozunk, csak át kell ezt váltanunk radiánba. Így ezt megszorozzuk -π radián osztva 180 fokkal. A fokok kiesnek. Ami marad, az 45 / 180, ez 4 lesz, így ez egyenlő – itt van egy mínusz jel – -π/4 radiánnal. A -1 arkusz tangense egyenlő -π/4-gyel, vagy a -1 inverz tangense egyenlő -π/4-gyel. Most mondhatod, hogy nézd, ha -π/4-nél vagyok, az itt van. Ez ad nekem egy értéket, ami -1, mivel ennek a vonalnak a meredeksége -1. De haladhatok tovább az egységkörön, ehhez hozzáadhatok 2π-t, hozzáadhatnék 2π-t ehhez és az is annyit adna. Ha a tangensét venném ennek a szögnek, az is -1-et adna. Vagy hozzáadhatok megint 2π-t és megint -1-et kapok. Mehetnénk konkrétan ebbe a pontba, és a tangens itt is -1 lenne, mert pont ugyanaz a meredekség. Ahogy a szinusznál említettem – az inverz szinuszos videóban –, nem lehet olyan függvényed, ami egy számhoz több különböző értéket rendel. x inverz tangensének nem lehet több különböző értéke. Nem rendelhetjük hozzá a -π/4-et, nem rendelhetjük hozzá a – mi lenne ez? – 3π/4-et, nem tudom, legyen mondjuk 2π-π/4, vagy 4π-π/4, nem rendelhetjük hozzá ezt az összeset. Le kell szűkítenem az inverz tangens függvény értékkészletét. És ezt a szűkítést nagyon hasonlóan csináljuk ahhoz, ahogy azt a szinusz inverzének értékkészletével tettük. Az első és a negyedik negyedre szűkítjük. Az inverz tangens értéke tehát mindig ebben a két negyedben lesz. De nem lehet ez a pont és ez emez, mert a tangens függvény nincs értelmezve a π/2-ben és a -π/2-ben, azért, mert az egyenes függőleges, ahogy elkezdesz osztani, az x változása nulla, a koszinusz théta nulla, így ha ezzel osztasz, ami nulla, az nem értelmezhető. Így az értékkészleted – hadd írjam le! Ha adott az x tangensének inverze, milyen értékeket vehet fel a tangens? Ha a tangens théta egyenlő x-szel, milyen különböző értékeket vehet fel az x? Ezek a meredekség lehetséges értékei. És a meredekség bármekkora lehet, így az x bárhol lehet mínusz végtelen és plusz végtelen között. x végső soron bármilyen értéket felvehet. De mi a helyzet a théta-val? Most mondtam. A théta -π/2 és π/2 között lehet, és nem tartozhat bele a π/2 vagy a -π/2, mert akkor függőlegesben vagy. Szóval mondjuk, ha van egy tangensem, nem az inverze, az értelmezési tartomány, vagyis a tangens értelmezési tartománya többször körbe mehet, szóval inkább hagyom ezt. De ha a tangens inverzét szeretném venni, akkor nincs ilyen sok hozzárendelt érték. Ezt mind áthúzom. Lekorlátozom thétát, vagyis az értékkészletemet, hogy az nagyobb legyen, mint -π/2 és kisebb, mint π/2. És ha leszűkítem az értékkészletemet erre, és kizárom ezt a pontot és ezt a pontot, akkor csak egy válaszom lesz arra, hogy minek a tangenséhez tartozik ez a meredekség, a -1. Ez itt a kérdésem. Csak egy válasz van. Mert ha ez kiesik, és nyilván ahogy körbe-körbe megyek, azok mind kívül esnek azon az érvényes értékkészleten, amit megadtam. És akkor, csak hogy biztosra menjünk, hogy jól csináltuk, a válaszunk a π/4, lássuk, hogy ez jön-e ki számológéppel is! A -1 inverz tangense egyenlő ezzel. Nézzük meg, hogy ez ugyanaz-e, mint -π/4! -π/4 egyenlő ezzel. Szóval az -π/4. De jó, hogy nem számológéppel oldottuk meg, mert ezt így nehéz felismerni, hogy egyenlő -π/4-gyel.