Függvények invertálhatóvá alakítása az értelmezési tartomány leszűkítésével

Melyik intervallumra leszűkítve lesz az f(x)=cos(x-π/4) függvény invertálható? És itt láthatjuk, hogyan néz ki a cos(x-π/4) függvény képe. Gondoljuk meg, mit is jelent az, hogy egy függvény invertálható! A függvény egy leképezés egy adott halmaz elemeiből, amit értelmezési tartománynak nevezünk. (A tollam vacakol ma, lássuk, hátha rendben működik.) Szóval ez itt az értelmezési tartományunk, és ez pedig itt az értékkészletünk. A függvény az értelmezési tartomány egy eleméhez hozzárendeli az értékkészlet egy elemét. Ez a függvény. A függvény inverze pedig az értékkészlet eleméhez rendeli az értelmezési tartomány elemét, így ez itt az f inverze lesz. Ha a függvény ilyen irányba mutat, akkor az f inverzének ez lesz az iránya. Na most, van, amikor a függvény nem invertálható, az egyik olyan eset, amikor a függvény nem invertálható, amikor lehet egy olyan függvényed, ami az értelmezési tartomány két különböző eleméhez az értékkészlet ugyanazon elemét rendeli. Tehát ehhez a két elemhez az értékkészletnek ezt az elemét rendeli, szóval mindkettő a függvény. Viszont ha ez a helyzet, akkor nem tudsz olyan függvényt megadni, amelyik a másik irányba képez le, ugyanis ha ezt behelyettesíted az inverz függvénybe, hova jutsz? Az értelmezési tartomány ezen elemébe jutsz? Vagy pedig ide jutsz, ehhez az elemhez? Az egyik megoldás erre a kölcsönösen egyértelmű leképezés. Az értékkészlet minden eleme az értelmezési tartomány csak egy eleméhez tartozik. Vagy egy másik módszer: az, hogy megpróbálsz egy vízszintes vonalat rajzolni a függvénygörbére, és megnézed, hogy az többször metszi-e a függvényt. És láthatod, hogy ez így is lesz ennél a függvénynél, ha a vízszintes vonalat ide húzom. Ez most miért probléma? Ez azt mutatja... hadd mutassak egy számot, amivel ez könnyebben látható! Szóval mondjuk ide húzok egy vízszintes vonalat. Mi a baj ezzel a vízszintes vonallal? Megmutatja nekünk – ha csak az értelmezési tartomány azon részét nézzük, ami itt ábrázolva van –, hogy számos olyan pont van, amihez az értékkészlet ugyanazon elemét rendeljük. Ezekhez a 0,5-et rendeljük. 0,5 ez az érték itt. Ha megnézed f értékét ezen a helyen, az egyenlő 0,5-del, ahogy itt is egyenlő 0,5-del, itt pedig ugyancsak egyenlő 0,5-del. Szóval ha az értelmezési tartomány több eleméhez az értékkészlet ugyanazon eleme tartozik, akkor a függvény nem lesz invertálható azon az értelmezési tartományon. Így azt csináljuk, hogy megpróbáljuk úgy leszűkíteni az értelmezési tartományt, hogy ha arra alkalmazom ezt az úgynevezett vízszintes vonal tesztet, csak egyszer fogom metszeni a függvényt. Nézzük tehát a függvény grafikonját! Nézzük végig, milyen lehetőségeink vannak! Az első egy nyitott intervallum -5/4 π-től, -5/4 π, ez itt a π, ez pedig -π és még egy negyed π, szóval ez itt kezdődik, és egészen idáig, a -¼ π-ig tart. Ez itt az értelmezési tartomány. Hadd jelöljem ezt más színnel! Szóval ez lesz itt, a két végpont nem tartozik bele. Itt is alkalmazhatom a vízszintes vonalat, erre az értelmezési tartományra, és meg tudom mutatni, hogy ezen értelmezési tartomány két eleméhez is az értékkészlet ugyanazon eleme lesz hozzárendelve. Így, ha venném az inverzét ennek az elemnek, ami kb -0,6, mi lenne az f inverze a -0,6-nál? Ez az érték lenne itt? Vagy inkább ez az érték itt? Tehát ezt kizárnám. Nézzük -π-től π-ig! Most ezt a színt használom. -π-től π-ig. Még egyszer, ez zárt lesz, azaz a két szélső érték is beletartozik, a -π és a π is része az értelmezési tartománynak. Megint alkalmazhatom a vízszintes vonalat erre az intervallumra is. Vagy akár az előzőt is használhatom, a kéket. Látható, hogy több olyan eleme is van az értelmezési tartománynak, amihez mondjuk a 0,5-et rendeljük. Mi lenne tehát az f inverze a 0,5-nél? Nem tudsz olyan függvényt megadni, ami az értelmezési tartományból csak egy elemet rendel hozzá. Így ezt is kizárhatjuk. Na most, -½ π-től +½ π-ig. - ½ π (lassan kifogyok a színekből). -½ π-től +½ π-ig. Ez érdekes, ha a vízszintes vonalat alkalmazom itt, itt, itt, lássuk, de ha ide rajzolom a vízszintes vonalat, akkor kétszer metszem a függvényt. Így két eleme is van az értelmezési tartománynak, amihez az értékkészlet ugyanazon elemét rendeljük, szóval ezt is kizárhatom. Már csak egy lehetőségem maradt, remélem ez működni fog. ½ π-től, ez egy nyitott intervallum, ½ π-től 5/4 π-ig. Ez itt π, és még egy negyed π, ami itt lesz. Ha megnézem a görbét itt, úgy tűnik, hogy átmegy a vízszintes vonal teszten. Bármely pontba húzhatok egy vízszintes vonalat az értelmezési tartomány fölött. Hadd alkalmazzam a teljes értelmezési tartományra! Így látod a teljes értelmezési tartományt. És csak egyszer metszem a függvényt. Így az értékkészlet minden eleméhez az értelmezési tartomány egyetlen eleme tartozik. Átmegy a vízszintes vonal tesztünkön. Szóval ezt pipálnám ki itt.