If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:8:23

Videóátirat

Az előző videóban sikerült modelleznünk az átlagos maximumhőmérsékletet a chilei Santiagoban, a napok függvényében, egy éven át, január 7-ével kezdve. Erről a grafikonról volt szó. A 0. nap január 7-e volt. De nem fejeztük be a feladatot. Azt kérdezik, hogy hány nappal január 7-e után van az első olyan tavaszi nap, amikor a hőmérséklet eléri a 20°C-ot. Itt mondtam is, hogy vigyázzunk a „tavaszi nap” kifejezéssel, mégpedig azért, mert két olyan nap is van, ahol a hőmérséklet 20°C. Tegyük fel, hogy ez itt a 20°C! Nézd csak meg! Itt az egyik nap, itt pedig a másik nap. És melyik itt az „első olyan tavaszi nap...”? Ha itt nyár van ezen a részen, hiszen a déli féltekén járunk, azaz itt akkor van nyár, amikor az északi féltekén tél van. Nyár van itt. Milyen évszak jön nyár után? Ez persze itt az ősz lesz, aztán itt lesz a tél, és itt a tavasz. Utána megint nyár jön. Mi tehát ezt az értéket keressük, nem pedig ezt. Ez itt az az ŐSZI nap, amikor az átlag maximumhőmérséklet 20°C, ez pedig itt az első TAVASZI nap, amelyen az átlag maximumhőmérséklet eléri a 20°C-ot. Az első TAVASZI nap a kérdés. Ez nem feltétlen a tavasz első napja, hanem az első olyan nap tavasszal, amikor a hőmérséklet eléri a 20°C-ot. Tehát itt tavasz van, és ez az érték, amit keresünk. Gondoljuk hát végig, hogyan hasznosíthatnánk a függvényt! A 20°C-ot keressük, úgyhogy le is írhatjuk, hogy 20 = 7,5・cos[(2π/365)・a napok száma]+21,5. Kivonhatunk mindkét oldalból 21,5-et, és azt kapjuk, hogy -1,5 egyenlő ezzel, amit mindjárt másolok és beillesztek... ezzel lesz egyenlő. Most oszthatom mindkét oldalt 7,5-del. Észreveheted, hogy a koszinuszt próbálom kifejezni, aztán pedig majd a d-t, de kicsit meg kell állnunk majd, miután koszinuszra rendeztük. Vigyáznunk kell majd! Tehát osztjuk mindkét oldalt 7,5-tel, és azt kapjuk – ehhez még számológép sem kell –, hogy 1,5 / 7,5 = 1/5. 5・15, avagy 5・1,5 =7,5 Így hát ez itt -1/5. Írhatjuk -1/5-ként vagy -0,2-ként. -0,2=cos[(2π/365)・a január 7-e utáni napok számával] Itt kell nagyon óvatosnak lennünk! Ahelyett, hogy vakon alkalmaznánk az inverz koszinusz függvényt, meg kell róla bizonyosodnunk, hogy a megfelelő szöget kapjuk. Ne felejtsd el, hogy a változónak nem az az értéke kell a koszinuszhoz, amely ezt a pontot fogja adni, hanem az, amelyik ezt a pontot fogja eredményül adni itt. Rajzoljunk fel egy egységsugarú kört, csak hogy biztosan értsük, hogy miről van szó! Nagyon sokszor csinálom ezt, főleg akkor, amikor az inverz trigonometrikus függvényeket alkalmazom a gyakorlatban, ahol nem lehet vakon a számológépbe írni, amit keresek. Ide rajzolom hát az egységsugarú kört, x tengely, y tengely, egy egységsugarú kör, origó középponttal. A lényeget érted, már sokszor csináltuk ugyanezt. Január 7-e ezt a pontot jelenti itt, ami a körön ez a pont. Itt nyár van. Aztán, ahogy múlnak a napok, a koszinusz függvény változója nő, tehát a szög is nő. Ez itt az őszt fogja jelenteni, amit ez a pont jelképez. Aztán megyünk tovább a tél felé, ami ez a rész itt, aztán végül elérjük a tavaszt, ami itt van. Nekünk az a szög kell, ahol a függvény értéke -0,2 lesz. Ez itt -1. -0,2 ennek az ötöde, azaz itt van. Figyeld meg, két szög van, ami -0,2-t adna. Ez az egyik szög, meg is jelölöm szaggatott vonallal, de aztán itt van még ez a szög is, ami még nagyobb. Egy másik módszer az lenne, ha visszafelé indulnál eddig a szögig, és onnan egy teljes kört megtéve mennél a következő tavaszig, csak 2π-t kellene hozzáadnod. Melyik szög is kell nekünk? Az, ami a tavasznál van. Ha csak vakon vettük volna az inverz koszinusz -0,2-t, akkor ezt kaptuk volna megoldásként itt. Ezt be is bizonyíthatjuk. Nézzük! Inverz cos(-0,2)=1,77. Tudjuk, hogy ez itt 0, ez pedig itt π, ami 3,14159, ez pedig itt 1,77, ami, látjuk, hogy kicsivel több, mint a π fele. Tehát a számológép ezt a szöget adta megoldásként. Ez itt körülbelül 1,77 radián, ami ez a szög itt. De mi nem azt akarjuk, hanem ezt itt. Hogyan kaphatjuk meg ezt? Az egyik módszer az, hogy elmegyünk egészen 2π-ig, és kivonjuk belőle a 1,77-ot. Tehát mondhatjuk, hogy 2π-1,77 durván ez a szög lesz. Nézzük is meg! Vegyük 2・π-t, és vonjuk ki ezt a számot! A „2nd és Ans” gombkombinációval előhívom az előző eredményt („Ans”-t), így kerekítés nélküli, pontos számmal dolgozunk. 4,511-et kapok eredményül, amit le is ellenőrizhetünk, mivel tudjuk, hogy π és 2π között lesz. 2π az 2・3,14159, ami 6,28 körül van. Az 1π itt 3,14159. Ez tehát a jó szög. Nem végeztünk még. Ez csak a függvény argumentuma, ami azért kellett, hogy megkapjuk ezt a pontot. De mi lesz a napok száma? (2π/365)・a napok számával egyenlő lesz a 4,511-gyel. Le is írom. Tehát ez itt belül megközelítőleg egyenlő lesz 4,511-gyel. Lejjebb görgetek kicsit. Mondhatjuk, hogy 2π/365 szorozva a január 7-e utáni napok számával megközelítőleg egyenlő 4,511. A napok számához megszorozzuk mindkét oldalt az együttható reciprokával. Azaz megszorozzuk mindkét oldalt 365/2π-vel. Ezek kiesnek, és ehhez már tudjuk a számológépet használni. Ez a 4,511 a számológépben a pontos érték, úgyhogy használjuk megint az „előző válasz” gombot, és szorozzuk meg 365-tel... dobpergést kérünk... osszuk el 2π-vel, és azt kapjuk ‒ a legközelebbi napra kerekítve ‒, hogy 262 nappal van ez január 7-e után. 262 nappal utána a megoldás. És kész is vagyunk.