Fő tartalom

Tantárgy/kurzus: Trigonometria > 4. témakör

5. lecke: Trigonometrikus azonosságok alkalmazása

A trigonometrikus azonosságok áttekintése

Nézd át ÉS értsd meg az összes kedvenc trigonometrikus azonosságodat!

Reciprok és hányados függvények

\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)}

Mozgasd a pontot az egységsugarú körön, és figyeld meg, ahogy a koszinusz és szekáns értéke együtt változik! Amikor a koszinusz kicsi, a szekáns nagy, és megfordítva. Látható, hogy a szorzatuk mindig pontosan

1

lesz.

Ugyanezt az azonosságot hasonló háromszögekkel is szemléltethetjük. Mozgasd az ábra alatti pontot, és figyeld meg, hogyan alakul át egyik háromszög a másikba és mely szakaszok felelnek meg egymásnak!

\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}

Mozgasd a pontot az egységsugarú körön, és figyeld meg, ahogy a szinusz és koszekáns értéke együtt változik! Amikor a szinusz kicsi, a koszekáns nagy, és megfordítva. Látható, hogy a szorzatuk mindig pontosan

1

lesz.

\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)}

Mozgasd a pontot az egységsugarú körön, és figyeld meg, ahogy a tangens és kotangens értéke együtt változik! Amikor a tangens kicsi, a kotangens nagy, és megfordítva. Látható, hogy a szorzatuk mindig pontosan

1

lesz.

\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}

\cot (θ) = \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}

Pitagoraszi azonosságok

\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1^{2}

\tan^{2} (θ) + 1^{2} = \sec^{2} (θ)

\cot^{2} (θ) + 1^{2} = \csc^{2} (θ)

Szögek összegének és különbségének, többszörösének és törtrészének szögfüggvényei

Ezek az azonosságok szorosan összefüggenek, de nézzük meg őket egyesével!

Szögek összegének és különbségének szögfüggvényei

\sin (θ + ϕ) = \sin θ \cos ϕ + \cos θ \sin ϕ

\sin (θ - ϕ) = \sin θ \cos ϕ - \cos θ \sin ϕ

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

\cos (θ - ϕ) = \cos θ \cos ϕ + \sin θ \sin ϕ

Az alábbi ábra egy bizonyítást mutat a szögösszeg azonosságokra. A négyzet bal és jobb oldala egyforma hosszú, így:

\sin (θ + ϕ) = \sin θ \cos ϕ + \cos θ \sin ϕ

A felső és alsó oldal ugyancsak egyforma, így:

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

Az ábra legegyszerűbben úgy értelmezhető, ha elindulunk a középső háromszögből, és kifelé építkezünk a derékszögű háromszögekkel a megfelelő szögfüggvény alkalmazásával (SziSzA KoMA TaSzeM)

Hasonló ábrával lehetne szemléltetni a szögek különbségére vonatkozó azonosságokat. Le tudnád rajzolni?

(Igazság szerint ez nem bizonyítja az állítást valamennyi

θ

és

ϕ

értékre, de az azonosság valóban minden szögre fennáll.)

\tan (θ + ϕ) = \frac{\tan θ + \tan ϕ}{1 - \tan θ \tan ϕ}

\tan (θ - ϕ) = \frac{\tan θ - \tan ϕ}{1 + \tan θ \tan ϕ}

Az alábbi ábrán a tangens szögösszeg azonosságának egyik bizonyítása látható.

Itt egy kicsit trükkösnek kell lennünk, hogy felérjünk az ábra bal felső sarkában lévő háromszöghöz. Ha erre a háromszögre alkalmazzuk a tangens definícióját, ezt kapjuk:

\tan (θ + ϕ) = \frac{szemközti}{melletti} = \frac{\tan θ + \tan ϕ}{1 - \tan θ \tan ϕ}

Az ábra legegyszerűbben úgy értelmezhető, ha elindulunk az ábra aljáról és felfelé építkezünk a megfelelő szögfüggvények alkalmazásával (SziSzA KoMA TaSzeM).

Hasonló ábrával lehetne szemléltetni a szögek különbségére vonatkozó azonosságokat. Le tudnád rajzolni?

(Igazság szerint ez nem bizonyítja az állítást valamennyi

θ

és

ϕ

értékre, de az azonosság valóban minden szögre fennáll.)

Kétszeres szög szögfüggvényei

\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

Ezt is kinyerhetjük a szögösszeg azonosságból, de egy kicsit több átalakításra lesz szükségünk.

Induljunk ki két egyforma szögből.

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

\cos (θ + θ) = \cos θ \cos θ - \sin θ \sin θ

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ

Most alkalmazzuk a

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

függvényt úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalán csak koszinusz szerepeljen.

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - (1 - \cos^{2} θ)

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - 1 + \cos^{2} θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

\tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}

Fél-szög képletek

\sin \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}}

\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos θ}{2}}

\begin{aligned} \tan \frac{θ}{2} & = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}} \\ = \frac{1 - \cos θ}{\sin θ} \\ = \frac{\sin θ}{1 + \cos θ} \end{aligned}

Szimmetrikus és periodikus azonosságok

\sin (- θ) = - \sin (θ)

\cos (- θ) = + \cos (θ)

\tan (- θ) = - \tan (θ)

\sin (θ + 2 π) = \sin (θ)

\cos (θ + 2 π) = \cos (θ)

\tan (θ + π) = \tan (θ)

Pótszögek szögfüggvényei

\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)

\cos θ = \sin (\frac{π}{2} - θ)

\tan θ = \cot (\frac{π}{2} - θ)

\cot θ = \tan (\frac{π}{2} - θ)

\sec θ = \csc (\frac{π}{2} - θ)

\csc θ = \sec (\frac{π}{2} - θ)

Ezek az azonosságok mind hasonlóak.

Ahhoz, hogy megértsük ezeket, figyeljük meg, hogy a

θ

-ból úgy jutunk el a

\frac{π}{2} - θ

-ba, hogy a szöget tükrözzük az

y = x

egyenesre.

Az alábbi interaktív ábra segít megmutatni, hogy a szögek hogyan viszonyulnak egymáshoz és hogy

\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)

. A pótszögek többi szögfüggvénye is hasonlóan párosítható, így megkaphatjuk a többi azonosságot.

Függelék: Az összes szögfüggvény az egységsugarú körben

Mozgasd a pontot, és látni fogod, hogyan változnak a szögfüggvény értékek a szög változásával!

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Jelentkezz be

Rendezés:

Még nincs hozzászólás.

Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.