Trigonometrikus azonosságok alkalmazása

Nézzünk meg néhányolyan példát, amelyekben trigonometrikus kifejezéseket egyszerűsítünk! Kezdjük például azzal, hogy (1-sin²Θ), és az egész szorozva cos²Θ-val! Hogyan tudnánk ezt egyszerűsíteni? Azt tudjuk – és ez az egyik legalapvetőbb trigonometrikus azonosság, egyenesen az egységsugarú körből származtatjuk –, hogy cos²Θ + sin²Θ = 1. Ha mindkét oldalból kivonunk sin²Θ-t, akkor azt kapjuk, hogy cos²Θ = 1 - sin²Θ. Innentől két lehetőségünk van: vagy behelyettesítjük a cos²Θ-t az (1 - sin²Θ) helyére, vagy az (1 - sin²Θ)-t helyettesítjük be a cos²Θ helyére. Az előbbit preferálom, mert a másik bonyolultabb lenne. Tehát ezt ki tudom cserélni cos²Θ-ra, szerintem így egyszerűbb lesz a kifejezés. Lássuk hát! Ebből tehát cos²Θ ⋅ cos²Θ lesz. Ez ugye ugyanaz, mint cos Θ ⋅ cos Θ ⋅ cos Θ ⋅ cos Θ, ami egyszerűsítve nem más, mint cos Θ a negyediken. Nézzünk egy másik példát! Legyen az, hogy sin²Θ / (1-sin²Θ)! Ez mivel lesz egyenlő? Azt már tudjuk, hogy 1-sin²Θ nem más, mint cos²Θ, tehát ez sin²Θ osztva ezzel itt – amiről láttuk, hogy ugyanaz, mint cos²Θ –, szóval osztva cos²Θ-val. Ezt pedig írhatjuk úgy is, hogy (sin Θ/cos Θ) a négyzeten. Mi is a szinusz osztva koszinusszal? Ugye az a tangens. Így ez az egész nem más, mint tan²Θ. Csináljunk meg még egy példát! Vegyük azt, hogy cos²Θ + 1 + sin²Θ! Ebből vajon mi lesz? Csábítónak tűnhet arra indulni –főleg a színezés miatt –, hogy tudunk-e valami azonosságot az 1 + sin²Θ-re. De ha a kifejezést átrendezzük, akkor látszik, hogy ismerem cos²Θ + sin²Θ értékét az egységkörös definíció alapján. cos²Θ + sin²Θ bármely szög esetén egyenlő 1-gyel. Tehát ez az egész egyenlő lesz 1+1-gyel, ami egyenlő 2-vel.