Addíciós tételek alkalmazása: oldal hosszának kiszámítása

Ebben a videóban szeretném felhasználni a szögfüggvényekről és a trigonometrikus azonosságokról szerzett ismereteinket, hogy a megadott adatok alapján meghatározzuk az itt ábrázolt sárga szakasz hosszát, amely ettől a ponttól eddig tart. Biztatnálak, hogy állítsd meg a videót, és gondold át a feladatot, mielőtt megmutatom a megoldást! Ha megpróbáltad egyedül, lehet, hogy észrevetted, hogy a keresett szakaszunk ennek a derékszögű háromszögnek az egyik oldala. Megadták ezt az α és β szöget, de ha az α és β összegét vesszük, tehát az (α+β) szöget, akkor a már megszokott szögfüggvények alkalmazhatók lesznek a sárga szakaszra. A hegyesszögek szögfüggvényeit a „szisza koma taszem” emlékeztető segít felidézni, tudjuk, hogy a szinusz az a „szemközti per átfogó”-t jelenti (SziSzA). Tehát, ha az (α+β) szöget vizsgáljuk, ami ez a szög itt, akkor a szemközti per átfogó az épp a keresett oldal per az átfogó, és mivel az átfogó 1, a sin(α+β) maga a keresett oldal lesz. Ez érdekesnek tűnik, úgyhogy le is írom: sin(α+β) gyakorlatilag az az érték, amit keresünk. Sin(α+β) az éppen ez a hosszúság itt. Sin(α+β) az egyenlő a szemközti oldal, ami ez, osztva az átfogóval. És mivel az átfogó az 1, így sin(α+β) maga a szemközti oldal lesz. Másképpen is megfogalmazhatjuk ezt a feladatot, hogy „hogyan tudnánk kiszámolni sin(α+β)-t”? Ha jól emlékszel még a trigonometrikus azonosságokra, lehet, hogy valami itt eszedbe jut. Mégpedig az, hogy van egy másik képlet, amivel ki tudjuk fejezni sin(α+β)-t. Tudjuk, hogy ez itt fent ugyanaz, mint sin(α)・cos(β) + cos(α)・sin(β). Idehúzok egy vonalat, hogy ne zavarodjunk össze. Tehát, ha ezt itt ki akarjuk számolni, és tudjuk, hogy így is fel lehet írni, akkor végső soron azt keressük, hogy mi a sin(α), mi a cos(β), mi a cos(α) és mi a sin(β). Már ránézésre láthatod, hogy ezeket ki is fogjuk tudni számolni. Lássunk is neki! Ide írom, hogy sin(α) egyenlő, ez itt az α, a szinusz az a szemközti befogó per az átfogó, tehát 0,5/1. Ez tehát 0,5, szóval ide fel is írom, hogy 0,5. Cos(β) – ez itt a β –, a koszinusz a szög melletti befogó per az átfogó („koma”), a β melletti befogó 0,6, ezt osztjuk az átfogóval, ami 1, ez egyenlő 0,6-tal. Cos(α), ami a szög melletti befogó per az átfogó, tehát (√3/2)/1. Szóval ez itt √3/2. És végül sin(β), ami a szöggel szemközti befogó per az átfogó, ami itt 0,8. Tehát ez itt 0,8. De hadd írjam le inkább úgy, hogy 4/5! Ez is ugyanaz, mint a 0,8, viszont így szerintem könnyebb dolgom lesz az egyszerűsítéssel itt fent. Mivel lesz ez egyenlő? Ezzel lesz egyenlő: 0,5 ・0,6, szóval ez a rész itt 0,3. És a (√3/2) ・(4/5). Szorozzuk csak össze őket! Mivel 4/2 = 2, így ez végül az lesz, hogy (2√3)/5. Tehát ennek a második fele az lesz, hogy + (2√3)/5. Gyakorlatilag ez a válaszunk, habár elég zavaró, hogy más-más alakban vannak a tagok, – az egyik egy hányados, a másik tizedes tört –úgyhogy inkább felírom az egészet két szám hányadosaként. A 0,3 természetesen nem más, mint 3/10, plusz, ha itt is 10-es nevezőt akarok, akkor ebből (4√3)/10 lesz, és persze, ha a kettőt összeadjuk, akkor (3+4√3)/10 lesz az eredmény, Ezzel végeztünk is.