Kétszeres szög koszinuszára vonatkozó azonosság alkalmazása

Itt van ez az ABC háromszög, ami derékszögűnek tűnik. Tudjuk is, hogy derékszögű, mivel 3 a négyzeten plusz 4 a négyzeten egyenlő 5 a négyzetennel. Ki szeretnénk számolni, hogy mennyi az ABC szög kétszeresének koszinusza. Ez az ABC szög. Nos, ezt nem tudjuk egyből kiszámolni, viszont azt igen, hogy mennyi az ABC szög koszinusza. Tudjuk, hogy az ABC szög koszinusza a szög melletti befogó osztva az átfogóval, ez egyenlő 3/5-del. Ehhez hasonlóan az ABC szög szinuszát is ki tudjuk számolni, ez a szöggel szemközti befogó osztva az átfogóval, azaz 4/5. Ha ezt a kifejezést vissza tudnánk vezetni ABC szinuszára és koszinuszára, akkor ki tudnánk számolni. Szerencsére rendelkezésünkre áll egy trigonometrikus azonosság, ami pontosan ezt csinálja. Tudjuk, hogy egy szög kétszeresének a koszinusza egyenlő a szög koszinuszának a négyzete mínusz a szög szinuszának négyzete. Ezt egy másik videóban bizonyítottuk, viszont most sokat segíthet nekünk. Tudjuk, hogy az ABC szög ‒ inkább egy másik színt használok ‒ szóval tudjuk, hogy az ABC szög koszinusza egyenlő lesz ‒ elnézést, az ABC szög kétszeresének koszinuszáról beszélünk ‒ az ABC szög kétszeresének koszinusza egyenlő az ABC szög koszinuszának a négyzete mínusz a szinuszának a négyzete. Ezeknek az értékét pedig pontosan tudjuk. Ez itt egyenlő lesz 3/5-nek a négyzetével, mivel az ABC szög koszinusza 3/5, és ezt emeljük négyzetre. Ez pedig 4/5-nek a négyzete lesz, tehát ez itt mínusz 4/5 a négyzeten. Egyszerűsítve 9/25 mínusz 16/25, ami egyenlő 7/25-del. Elnézést, itt van egy mínusz. Erre vigyázzunk, mert 16 nagyobb mint 9, ezért ez -7/25. Meglepő lehet, hogy negatív számot kaptunk, amikor megkettőztük a szöget, hiszen az eredeti szög koszinusza pozitív szám volt. Ilyenkor az egységkörre kell gondolnunk – ismerjük már a szögfüggvények egységkörös definícióját, ami a hegyesszögek szögfüggvényeinek a kiterjesztése. x tengely, y tengely, rajzolok ide egy egységkört, ilyet tudok csak. Ez tehát az egységkörünk. Az ABC szög valahogy így néz ki. Most látható, hogy az x koordináta, ami a szög koszinusza, pozitív. Viszont, ha megkettőzzük ezt a szöget, akkor az valahogy így fog kinézni. Ekkor láthatjuk, hogy az x koordináta – mivel most a második síknegyedben vagyunk – negatív lesz. Ebben a példában pedig éppen ez történt.