Szögek összegének szinuszára vonatkozó azonosság bizonyítása

Ebben a videóban a szinuszra vonatkozó addíciós tételt szeretném bebizonyítani, tehát azt, hogy sin(x+y) = sin(x)・cos(y) + cos(x)・sin(y). Mégpedig ezzel az ábrával fogom bizonyítani, amit úgy is nézhetsz, hogy van benne ez a piros derékszögű háromszög, aminek az átfogója 1. Ez az ADC háromszög, amelynek az egyik befogója az ACB háromszög átfogója. Azt pedig kékre színezem, mint ezt az y szöget. Tehát az AC oldal, ami az ADC háromszög befogója, az az ABC háromszög átfogója. Egymáson vannak. Úgy gondolkodok, hogy megvizsgálom: mivel egyenlő a sin(x+y)? Az x+y ezt az egész szöget jelenti itt. Figyeld meg az ADF derékszögű háromszöget! Azt tudjuk, hogy egy szög szinusza a szemközti befogó per az átfogó. Az átfogó 1, így a szög szinusza a szembeni befogó/1, azaz sin(x+y) megegyezik a szemközti befogó hosszával. Azaz a sin(x+y) megegyezik a DF szakasz hosszával. A DF hossza így gyakorlatilag az, amit keresünk, ezt pedig fel tudom bontani két másik szakaszra, felbonthatjuk a DE és az EF szakaszra. Tehát mondhatjuk, hogy a DF szakasz hossza – ami ugyanaz, mint sin(x+y) – megegyezik a DE és EF szakaszok hosszának összegével. És persze EF hossza egyenlő a CB szakasz hosszával, mivel ECBF egy téglalap, így az EF és CB szakaszok egyenlő hosszúak. Tehát folytatva, ez itt fent egyenlő a DE és a CB szakaszok hosszának összegével. Tehát úgy fogom ezt megközelíteni, hogy a sin(x+y) egyenlő a DF szakasz hosszával, DF-et pedig felbontom a DE és CB szakaszok hosszára. Ezzel a kis segítséggel biztatlak, hogy próbáld kifejezni a DE szakasz hosszát az x, y, szinusz és koszinusz segítségével, és próbáld a CB szakasz hosszát is meghatározni, ugyanígy az x, y, szinusz és koszinusz segítségével! Próbálj kifejezni mindent, amit csak tudsz, és lehet, hogy kisül belőle majd valami! Feltételezem, hogy nekifutottál már. Mivel addig eljutottunk, hogy a sin(x+y)-t kifejeztük így, nézzük, ezeket meg tudjuk-e határozni! A célom, hogy megpróbáljak kifejezni annyi szöget és oldalt, ahányat csak tudok. Nézzük először a fenti piros háromszöget! Az átfogója 1. Mi akkor a DC szakasz hossza? A DC az x szöggel szembeni befogó, így tudjuk, hogy sin(x)=DC/1, ami DC. Tehát ez a szakasz itt sin(x). Az AC szakasznál is ugyanez a logikánk. cos(x)=AC/1, ami az AC hossza. Tehát akkor ennek itt – ami az AC szakasz – a hossza cos(x). Ez elég érdekes! Nézzük, mit tudunk kideríteni az ACB háromszögről! Hogyan tudnánk kifejezni a CB-t? Azt tudjuk, hogy sin(y) egyenlő... mivel? sin(y) = CB hossza / átfogó, az átfogó itt cos(x). Szerintem itt már feltűnhet, hogy merre tartunk. Bármikor késztetést érzel, állítsd le a videót, és próbáld levezetni a bizonyítást magadtól! A CB szakasz hosszát megkaphatjuk, ha megszorozzuk mindkét oldalt cos(x)-szel. CB szakasz hossza = cos(x)・sin(y). Ez pont jól jön ki, mert ezzel kimutattuk, hogy ez itt megegyezik azzal ott. Szóval ahhoz, hogy befejezzük a bizonyítást, már csak azt kell megmutatnunk, hogy ez a tag itt ugyanaz, mint a felette lévő kifejezés ott. Ha ez sikerül, és mindkét szakasz megegyezik a felette lévő kifejezésekkel, akkor onnan már tudjuk, hogy az összegük egyenlőek lesz a DF-fel, és így sin(x+y)-nal is. Nézzük, hátha ki tudjuk fejezni a DE szakaszt valahogy! Melyik szögre lenne ehhez szükségünk? Ha valahogy eljutnánk ehhez a felső szöghöz, vagy ehhez itt...nézzük csak! Ha erre a felső szögre rá tudnánk jönni, akkor ki tudnánk fejezni DE-t a szög és a sin(x) segítségével. Nézzük, mi ez a szög! Azt tudjuk, hogy ez a szög itt y, és azt is tudjuk, hogy ez itt derékszög. EC tehát párhuzamos AB-vel, és az AC metszi őket. Így, ha ez a szög itt y, akkor tudjuk, hogy ez a szög is y. Ismétlem: ha EC és AB párhuzamosak, és AC metszi az egyenesüket, akkor ha ez a szög y, akkor ez is y lesz. Ha pedig ez y, akkor ez felette 90°-y. Ha pedig ez 90°, ez pedig 90°-y, akkor az összegük 180° - y, és mivel a három szög együtt 180°, következésképpen ez itt fent y lesz. Ellenőrizzük is ezt: y + (90°-y) + 90° = 180°. Ez pedig hasznunkra van, mert ezzel ki tudjuk fejezni a DE szakaszt az y és a sin(x) segítségével. Mi az y és DE kapcsolata? DE az y melletti befogó, tehát eszünkbe juthat a koszinusz. Tudjuk, hogy ha az y szög koszinuszát nézzük a DEC háromszögben, akkor a cos(y) = DE szakasz / az átfogó, ami sin(x). Itt már kezdhetünk örülni, mert látszik, hogy ha mindkét oldalt megszorozzuk sin(x)-szel, akkor DE = sin(x)・cos(y). Ezzel megmutattuk, hogy ez egyenlő ezzel. Azt már megmutattuk, hogy CB pedig egyenlő azzal ott fent, így már tudjuk, hogy a DE és CB összege – ami ugyanaz, mint DE és EF összege–, egyenlő a sin(x+y)-nal, ami pedig az ott fent. Ezzel bebizonyítottuk a szinuszra vonatkozó addíciós tételt.