A sin(x)=d alakú trigonometrikus egyenletek megoldása

Az alábbiak közül melyek részei a szinusz x egyenlő 1/3 egyenlet megoldáshalmazának? A lehetséges megoldások századokra vannak kerekítve. Válaszd ki az összeset, ami megoldása az egyenletnek! Javaslom, hogy most állítsd meg a videót, és próbáld megtalálni egyedül a megoldást! Most már biztosan megpróbáltad, úgyhogy nézzük át együtt! Az a kérdés, hogy mik az x értékek, mi a megoldáshalmaz. Melyek azok az x számok, amelyekre igaz, hogy a szám szinusza egyenlő 1/3-dal? Hogy könnyebben el tudjuk ezt képzelni, rajzoljunk egy egységkört! Ez az y tengely, ez pedig az x tengely. Itt az x egyenlő 1, itt az y egyenlő 1, itt van a mínusz 1 az x tengelyen, itt pedig az y tengelyen. Az egységkör középpontja az origóban lesz, a sugara pedig egy lesz. Most emlékezzünk vissza arra, hogy hogyan értelmezzük a szinuszt az egységkörben! Van egy szögünk, aminek az egyik szára a kör sugara lesz – ha színessel csinálom, akkor jobban látszik – a pozitív x tengelyen. És itt a szögünk másik szára. Nevezzük ezt a szöget θ-nak. A θ szög szinusza egyenlő lesz a sugár és az egységkör metszéspontjának az y koordinátájával, ez lesz itt a szinusz θ. Ez után a rövid áttekintő után vizsgáljuk meg, hogy milyen x értékekre – most feltételezzük, hogy radiánokkal számolunk – lesz az x szinusza 1/3. Mikor lesz tehát y egyenlő 1/3-dal az egységkörben? Ez a 2/3, itt van az 1/3. Láthatjuk, hogy pontosan két helyen lesz egyenlő 1/3-dal, itt és itt. Két olyan szög van az egységkör minden egyes fordulatánál, amelyekre igaz lesz, hogy szinusz x egyenlő 1/3-dal. Utána hozzá adhatunk 2π-t, ahányszor csak szeretnénk, így újabb megoldásokat kaphatunk. Az egységkörön látszik, hogy ez az egyik szög itt. Vagy körbemehetünk egészen eddig a szögig. Ez után hozzáadhatjuk ehhez a két szöghöz 2π egész számú többszöröseit, ekkor újabb szögeket kapunk, amelyeknek a szinusza szintén 1/3 lesz. Most gondoljunk bele, hogy mik lehetnek ezek a szögek! Vegyük elő a számológépünket, és számoljuk ki az 1/3 inverz szinuszát! Csináljuk! Inverz szinusz 1/3. Emlékezzünk vissza, hogy mi az inverz szinusz függvény értékkészlete! Egy -π/2 és π/2 közti számot fog adni, tehát a kapott eredmény az első vagy a negyedik síknegyedben lesz, ha az egységkörben gondolkodunk. Az eredmény pedig – századokra kerekítve – 0,34 lesz. Lényegében megadták ezt az értéket. Megadták a 0,34-ot, ami ez a szög itt. Hogy ezt honnan tudom? 0,34 pozitív szám, nagyobb, mint nulla, viszont kisebb, mint π/2. π körülbelül 3,14, tehát π/2 nagyjából 1,57 lesz. Tehát ez a szög itt a 0,34 radián. De mekkora lehet ez a szög itt? Ha vesszük a pozitív és negatív x tengely közötti szöget, és kivonunk belőle 0,34 radiánt – ez a szög itt 0,34 lesz –, akkor megkapjuk a keresett szöget. Ez pedig π mínusz az előző eredmény lesz, századokra kerekítve, ami 2,8 radián. Ez itt 0,34 radián, ez pedig – inkább lilával rajzolom –, ha körbemegyünk egészen idáig, π mínusz 0,34 lesz, ami egyenlő 2,80 radiánnal, századokra kerekítve. Ez eddig nem az összes megoldás. A kapott értékekhez még hozzáadhatjuk 2π egész számú többszöröseit, ezért a megoldás 2,80 plusz 2π többszörösei, tehát 2π・n, ahol n egész szám. Vagy vehetjük a 0,34-ot, és ehhez is hozzáadhatjuk 2π egész számú többszöröseit, tehát 2π・n-et, ahol n egész szám. A megoldáshalmazunk végül – leírom szépen külön – 2,80 + 2π・n, ahol n egész szám és 0,34 + 2π・n lesz, ahol n tetszőleges egész szám. Most vizsgáljuk meg, hogy ezek közül melyik részhalmaza a megoldáshalmazunknak! Nézzük az elsőt: 0,34 + 2π・n, ahol n egész szám. Ez pontosan az, amit leírtunk ide, ez a 0,34, és ha n pozitív egész szám, akkor ebbe az irányba megyünk körbe, és mindig visszajutunk ugyanabba a pontba. ha n negatív egész, akkor pedig a másik irányba megyünk körbe, akkor is mindig ugyanabba a pontba érkezünk. Ez a lehetőség tehát biztosan része a megoldáshalmaznak. 0,34 + π・n, ahol n egész szám. Ha például 0,34-hoz hozzáadnánk nem 2π-t, hanem csak π-t, akkor mit kapnánk? Akkor ezt a szöget kapnánk itt, aminek a szinusza nem +1/3, hanem -1/3 lenne. Ezt a lehetőséget tehát kihúzhatjuk. Ez a szög itt -0,34, látható, hogy ennek is -1/3 lesz a szinusza, ha ehhez hozzáadjuk 2π egész számú többszörösét, akkor annak a szögnek még mindig -1/3 lenne a szinusza, tehát ez a lehetőség sem jött be. Az alatta lévő hasonló okok miatt nem jó megoldás. 2,8 + 2π ⋅ n, ez az, amit ide írtunk, a 2,8 és a 2π egész számú többszöröseinek az összege ide fog vissza visszahozni minket, ami ugyanaz a pont, tehát ez jó. 2,8 + π ⋅ n: ha innen indulunk, majd hozzáadunk ehhez π-t, akkor ide jutunk, ennek a szinusza viszont nem 1/3, hanem -1/3. Ezért ezt is kihúzhatjuk. Csak ez a két megoldás jó, és ha a kettőt együtt veszed, akkor megkapod az egész megoldáshalmazát ennek az egyenletnek.