A cos(θ)=1 és a cos(θ)=-1egyenletek megoldása

Az alábbi grafikonon mely θ értékekre lesz cos θ=1-gyel, és mely θ értékekre lesz cos θ= -1-gyel? Nagyon szépen ábrázolták is nekünk a grafikont. A vízszintes tengely a θ tengely, a függőleges tengely az y tengely, a grafikon pedig az y=cos θ függvényt ábrázolja. Ez érthető lesz az egységkörös definíció ismeretében, úgyhogy győződjünk meg róla, hogy jól elsajátítottuk! Az egységkörös definíció alapján – hadd rajzoljam ide fel a kört csak vázlatosan, csak hogy a lényeget lássuk belőle – amikor θ=0, akkor ennél a pontnál vagyunk itt az egységsugarú körön. Mi az x koordináta ebben a pontban? 1! Láthatod a grafikonon is, hogy amikor θ=0, akkor cos θ egyenlő 1. Amikor θ = π/2, akkor ennél a pontnál vagyunk a körön. És itt mi az x koordináta? Az x koordináta itt 0! És látod ismét, hogy amikor π/2-nél vagyunk, akkor cos θ egyenlő 0. Ez teljesen megfelel az egységkörös definíciónknak. Ha jobbra haladunk a tengelyen, az az óra járásával ellentétes irány a körön, és ha balra haladunk, az az óra járásával megegyező irány a körön. Bocsánat, tehát még egyszer: a tengelyen jobbra haladva az óra járásával ellentétesen megyünk a körön, és balra haladva a tengelyen – a negatív szögek felé – az óra járásával megegyező irányba megyünk a körön. Válaszoljuk meg hát a kérdést! Mely θ értékekre lesz cos θ=1? Akár le is olvashatnánk a grafikonról. Láthatjuk, hogy cos θ=1 ott, ahol θ=0, aztán mennünk kell tovább egészen 2π-ig, a 2π is jó. Aztán mehetünk tovább és tovább, ami nem meglepő. Az x koordináta az egységsugarú körben 1 volt, amikor a nullszögnél voltunk, és teljesen körbe kellett járnunk a kört, hogy visszajussunk ugyanodáig, ami 2π radián fordulatot jelent. Aztán megint ott leszünk 4π radián után, aztán ismét ott leszünk 6π radián után, tehát 2π, 4π, 6π... biztosan felismered a sorozatot. 2π-nként fogunk olyan pontba érni, ahol cos θ=1. Tehát kifejezhetnénk ezt úgy is, hogy minden megoldás 2π-nek a többszöröse, azaz, 2π・n, ahol n egész szám. És ez a negatív értékekre is igaz. Ha a másik irányba mész, akkor mínusz 2π-ig kell menned, hogy teljesen körbe érj. Nullánál a függvény értéke 1 volt, és mínusz 2π-ig kell mennünk, hogy ismét 1 legyen, aztán -4π-nél ismét 1, és így tovább. A képletünk érvényes most is. Mivel n egész szám, így lehet negatív is. Így megkapjuk az összes negatív értéket, amelyre cos θ=1. Most nézzük meg, hogy mikor lesz cos θ= -1! cos θ= -1 ott – akár a grafikonról is leolvashatjuk –, ahol θ = π. Nézzük, még hol! A következő már kívül esik ezen az ábrán, de a grafikon körülbelül így folytatódna, és látnánk, hogy 3π is jó lenne. Ezt itt a körön is elképzelheted: cos θ= -1, amikor ennél a pontnál vagyunk az egységkörön. Ez a pont a π radiánnál van, és nem leszünk itt addig újra, amíg 3π radiánhoz nem érünk. Aztán addig nem fog újra megtörténni ismét, amíg nem adunk hozzá még 2π-t, avagy egy teljes fordulatot, addigra pedig már 5π-nél leszünk. És mehetnénk tovább és tovább. Ez ismét igaz a negatív irányra is. Tehát, ha ebből elvennénk 2π-t, azaz, ha innen visszamennénk egészen mínusz π-ig, akkor az is jó megoldás, és a grafikonról le is olvasható. Tehát ezeket úgy is leírhatnánk, hogy 2π・n + π, vagy úgy, hogy (2n + 1)・π ahol n egész szám. Hadd írjam le egy kicsit szebben: ahol n egész szám. Ezek közül mindegyik θ-ra igaz, hogy cos θ újra és újra -1 lesz. Láthatod, hogy az egyik minimumtól a következőig 2π-t kell haladnunk. Aztán ismét 2π a következő minimumig. És ugyanez volt a helyzet a maximumokkal is. 2π-t kellett haladnunk, hogy az egyik maximumtól a másikig érjünk, aztán ismét 2π-t az azt követőig.