A koszinusztétel bizonyítása

Legutóbbi videónkban volt egy szöveges feladatunk, ‒ egy háromszög oldalait kellett meghatároznunk ‒ de nem tudtuk alkalmazni a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tételt, mert az egy általános háromszög volt, nem pedig derékszögű. Végigküzdöttük magunkat a szinusz, koszinusz, tangens, tehát a legalapvetőbb szögfüggvények alkalmazásával, és eljutottunk a helyes válaszig. Most viszont szeretnék neked bemutatni valamit, amit koszinusztételnek hívnak, és amit lényegében bebizonyítottunk az előző videóban, de most a szöveges feladat nélkül szeretném bebizonyítani. Meg akarom neked mutatni, hogy ha ismered a koszinusztételt, alkalmazhatod az olyan feladatok megoldásában, mint a múltkori, és gyorsabban meg tudod oldani őket. Egy kicsit vegyes véleménnyel vagyok erről, mert nem vagyok nagy rajongója a memorizálásnak. Mire 40 éves leszel, valószínűleg nem fogsz emlékezni a koszinusztételre, de ha megvan a képességed arra, hogy kezdve a szögfüggvényekkel, szépen levezesd, mindig fel tudod írni. És persze lenyűgözne, ha 40 évesen még szögfüggvényekkel foglalkoznál, de ki tudja. Szóval gyerünk és nézzük meg, miről is szól ez a koszinusztétel! Tegyük fel, hogy ismerem ezt a Θ szöget. Nevezzük ezt az oldalt 'a'-nak, nem, legyen inkább b. (Kicsit önkényes vagyok, maradjunk talán az oldalak színénél.) Nevezzük tehát b-nek, ezt meg c-nek, ezt az oldalt pedig 'a'-nak. Ha ez egy derékszögű háromszög lenne, használhatnánk a Pitagorasz-tételt, de így nem tudjuk. Akkor mit tehetünk? Tegyük fel, hogy ismerjük b-t, ismerjük c-t, ismerjük Θ-t és meg akarjuk határozni 'a'-t. Általánosságban, ha ezek közül hármat ismerünk, a koszinusztétel ismeretében meg tudjuk határozni a negyediket. Hogyan? Pontosan úgy, ahogy az előző feladatban csináltuk. Rajzolhatunk ide egy vonalat, ‒ Istenem, ez nagyon csúnya, azt hittem a vonalrajzoló eszközt használom, edit, undo ‒ rajzolok tehát ide egy merőlegest, így kapok két derékszögű háromszöget. És ha derékszögű háromszögeim vannak, használhatom a szögfüggvényeket, a Pitagorasz-tételt, stb, stb. Nézzük, ez itt egy derékszög, és ez is az. Mekkora ez az oldal itt? (Hadd válasszak egy másik színt, talán túl sokat vacakolok a szinekkel, de csak hogy neked jobb legyen.) Mekkora ez az oldal, milyen hosszú ez a lila oldal? A lila oldal, ‒ használjuk a szisza-koma-taszemet, ide írom ‒ szisza-koma-taszem ez a lila oldal a Θ-val szomszédos, ez a kék vagy mályva színű b pedig a derékszögű háromszög átfogója. Tudjuk, ‒ és most már maradok egy színnél, különben sose érek a végére, ha folyton színt váltok ‒ tudjuk, hogy cos Θ, ‒ nevezzük ezt az oldalt d-nek ‒ szóval cos Θ = d/b. A d mennyivel is egyenlő? d = b cos Θ. Nevezzük ezt az oldalt e-nek! Mekkora az e? e az egész c oldal (c side, vicces, seaside) minusz a d oldal, ugye? e = c - d d-t már felírtuk, így e = c - b cos Θ. Ez tehát az e. Mekkora ez a bíborvörös oldal itt? Nevezzük m-nek (m mint magenta), m a Θ-val szemben van. Tudjuk, c-re már meghatároztuk, ismerjük b-t, melyik az a szögfüggvény, amelyik m/b-t adja, amely a szemköztit és az átfogót tartalmazza? Ez a szinusz: szemközti per átfogó. Így tehát tudjuk, hogy m/b=sin Θ. m/b (igen, hiszen ez az átfogó) = sin Θ, vagy m = b sin Θ. Meghatároztuk m-et, e-t és most ki akarjuk számítani 'a'-t. Ez most be kéne ugorjon, ismerjük egy derékszögű háromszög két oldalát és meg akarjuk határozni az átfogóját. Használhatjuk a Pitagorasz-tételt, amely szerint a² = m² + e², a másik két oldal négyzetének összege. Mennyi m² + e² ? (hadd válasszak itt önkényesen egy másik színt) a² = (m² ahol m = b sin Θ) a² = (b sin Θ)² + e² e-t már kiszámoltuk, itt van, azaz + (c - b cos Θ)² Nézzünk akkor egy kis algebrát, ez egyenlő b² sin² Θ sin² Θ az ugye (sin Θ)² plusz, ha felbontjuk a zárójelet c² - 2cb cos Θ + b² cos Θ (!) ezt csak elvégeztem. És most nézzük, tudunk-e valami érdekeset csinálni! Ha ezt és ezt a kifejezést nézzük, ez a kettő b² sin² Θ + b² cos² Θ (ennek itt négyzetnek kellene lennie, hiszen négyzetre emeltük) + c² - 2bc cos Θ Mire egyszerűsödik ez le? Ez ugyanannyi, mint b² (sin²Θ + cos²Θ) – most valaminek be kéne ugrania neked – + c² - 2bc cos Θ. Ez itt, bármilyen szögre sin²+cos² az egyenlő 1, ez az egyik korábbi azonosságunk, ez a trigonometrikus Pitagorasz-tétel. Ha tehát ez 1, akkor marad – visszatérve az eredeti színemhez, mindjárt a végére is érünk – a² = b² + c² - 2bc cos Θ. Ez így elég jól néz ki, ezt nevezzük koszinusztételnek. És ez azért hasznos, mert ha egy tetszőleges háromszögben ismerünk egy szöget és két oldalt, akkor most már meg tudjuk határozni a harmadik oldalt. Vagy, ha úgy akarod, a háromszög három oldalának ismeretében most már meg tudod határozni bármelyik szöget, ez is nagyon hasznos. Az egyetlen ok, ami miatt egy kicsit bizonytalan vagyok, nézd, ha te most épp trigonometriával foglalkozol, talán tesztet írsz, akkor emlékezned kell erre a képletre, mert így gyorsabb leszel, hamarabb eljutsz a válaszhoz. De nem vagyok híve annak, hogy memorizáljunk valamit anélkül, hogy értenénk, miből jön ez ki, mert egy vagy két év múlva, amikor egyetemre mész, és addigra már 4 év is eltelik a trigonometria óráidhoz képest, addigra valószínűleg elfelejted, amit most megjegyeztél. És ha akkor szembekerülsz egy trigonometriai feladattal, hasznos, ha képes vagy az elejéről eljutni ide. Mindemellett ez a koszinusztétel, és a koszinusztétel használatával sokkal gyorsabban megoldhatod az előző feladatot, csak fel kell rajzolnod a háromszöget, behelyettesíteni ide, megoldani a-ra és már kész is vagy. Viszlát a következő videóban!