If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:4:38

A háromszög ismeretlen oldalának kiszámítása a koszinusztétellel

Videóátirat

Tegyük fel, hogy van egy háromszögem, ez az oldala legyen b, ami egyenlő 12-vel. 12 egység, amilyen mértékegységet épp használunk. Tegyük fel, hogy ez az oldal itt c hosszúságú, és ez egyenlő 9-cel. Meg akarjuk határozni ennek az oldalnak a hosszát, ez az 'a' oldal, és meg akarjuk határozni az 'a' hosszát. Nos, nem fogjuk tudni kiszámítani anélkül, hogy ismernénk ezt a szöget, mert ha közelítjük a kék és zöld oldalt egymás felé, akkor 'a' kisebb lesz, míg ha ez a szög lenne nagyobb, akkor 'a' is nagyobb lenne. Tehát ismernünk kell ezt a szöget is, nevezzük thétának, théta 87 fokos. Hogyan számítsuk ki 'a'-t? Arra biztatlak, hogy itt állítsd meg a videót, és próbáld meg önállóan megoldani. Szerencsénkre van egy koszinusztételünk, amelyik segít a harmadik oldal meghatározásában. Ha ismerünk két oldalt és a köztük lévő szöget, a koszinusztétel megmondja, hogy a² = b² + c²... Ha most egy közönséges derékszögű háromszögünk lenne, ha ez a szög 90 fok lenne, akkor ez lenne az átfogó, és már meg is lennénk, ez a Pitagorasz-tétel lenne. De a koszinusztétel módosítja a Pitagorasz-tételt úgy, hogy tetszőleges szögre is alkalmazhassuk. Vagyis a koszinusztétel szerint a² = b²+c² minusz 2-szer b-szer c-szer cos(théta). Ez a théta az a szög, amelyik a minket érdeklő oldallal van szemben. Azért használhatjuk a thétát, mert az 'a'-t keressük. Ha itt egy másik szöget adnának meg, nem azt használnánk, minket az a szög érdekel, amelyik azzal az oldallal van szemben, amelyet meg akarunk határozni. Oldjuk meg tehát 'a'-ra, hiszen tudjuk mekkora b, c és théta. a² egyenlő b², azaz 144 meg c², ami 81, minusz kétszer b-szer c, vagyis minusz 2-szer 12-szer 9-szer cos 87°, és ez egyenlő 225 minusz (12-szer 9 az 108, 108-szor 2 az 216) 216-szor cos 87°. Most vegyük elő a számológépet, hogy kiszámoljuk ezt. Emlékezzünk, ez itt a². Sőt, mielőtt elővennénk a számológépet, fejezzük ki 'a'-t! 'a' ennek a négyzetgyöke lesz, vagyis 'a' ennek az egésznek a négyzetgyöke, amit csak idemásolok. És most használhatjuk a számológépet, hogy kiszámoljuk. (Hadd hosszabbítsam meg ezt a gyökjelet, hogy biztosan az egésznek a gyökét vegyük. Előveszem a számológépet. Meg akarom határozni a négyzetgyökét. Először hadd ellenőrizzem, hogy fok módban vagyok-e, igen, hiszen a szögfüggvényt fokban számoljuk, rendben, kilépek. 225 - 216-szor cos (87°) Kiérdemeltük a dobpergést, ez 14,61 lesz, vagy 14,618. Ha kerekíteni akarjuk tizedre, hogy közelítő értéket kapjunk, ez kb. 14,6 lesz. Azaz 'a' közelítőleg egyenlő 14,6-del, függetlenül a mértékegységtől, amit használunk.