A háromszög ismeretlen szögének kiszámítása a koszinusztétellel

Tegyük fel, hogy egy dombot vagy egy sziklaképződményt tanulmányozol, és ismered a méreteit. Tudod, hogy az alapja ettől a ponttól eddig a pontig a talaj mentén 60 méter. Ismered a meredekebb oldalt, a meredekebb felületét vagy élét ennek a sziklának, ez 20 méter. Ez a hosszabb oldal, a kevésbé meredek oldal pedig 50 méter hosszú. Ezeket meg tudod mérni. De most használni akarod trigonometriai tudásodat, és ezen információk alapján meg akarod határozni, milyen meredek ez az oldal. Mennyire lejt a talaj síkjához képest? Vagy másképp fogalmazva, mekkora ez a théta szög? Azt javaslom, hogy állítsd le a videót, és gondolkodj el ezen önállóan. Lehet, hogy ismerős ez a helyzet. Ismerjük a háromszög három oldalát, és meg akarjuk határozni az egyik szögét. Rögtön az jut az eszembe, hogy talán a koszinusztétel hasznos lehet. Hadd írjam ide a koszinusztételt, mielőtt megpróbáljuk alkalmazni erre a háromszögre! A koszinusztétel azt mondja ki, hogy c² = a² + b² - 2ab · cos(théta) Emlékezzünk vissza, mi is itt az 'a', b és c: c az az oldal, amelyik a théta szöggel szemben van. Szóval ha rajzolok egy tetszőleges háromszöget, és ez a Θ (théta) szög, akkor ez meghatározza, hogy ez a c oldal és aztán 'a' és b akármelyik lehet a kettő közül, 'a' lehet ez és b meg ez, vagy fordítva. Láthatod, hogy 'a' és b szerepe alapvetően azonos ebben a képletben, lehet ez a b és ez az 'a'. Mit is akarunk csinálni? Valamihez viszonyítani ezt a szöget... Meg akarjuk határozni a Θ-t ebben a dombos példában. Ha ez itt Θ, mekkora lesz a c? c ez a 20 méteres oldal lesz, és bármelyik másik oldalt vehetjük 'a'-nak illetve b-nek. Mondjuk legyen a=50 m és b=60 m. Alkalmazzuk a koszinusztételt, amely kimondja, hogy 20² = a² + b² - 2ab · cos(théta), azaz 20² = 50² + 60² - 2 · 50 · 60 · cos Θ. Simán működik, mivel minden adat rendelkezésünkre áll, csak egyetlen ismeretlenünk van, és ez a Θ. Nézzük, hogyan tudjuk kiszámolni Θ-t! 20² az 400, 50² az 2500, 60² az 3600, és 2-szer 50 az 100, 100-szor 60 az 6000. Ha ezt egyszerűsítjük egy kicsit, 400 egyenlő... 2500 meg 3600 az 6100 Új színt használok. Tehát ha ezt a kettőt összeadom, 6100-at kapok, igen, 2000 meg 3000 az 5000, 500 meg 600 az 1100, Tehát 6100 - 6000 · cos Θ, mindkét oldalból kivonunk 6100-at, hogy közelebb jussunk Θ-hoz. Ez itt -5700 lesz, ugye? Igen, annyi. Ugyanis ha ez fordítva, 6100-400 lenne, akkor az eredmény plusz 5700 volna. Ez a kettő kiejti egymást, így ez egyenlő mínusz 6000-szer cos Θ. Most osszuk el mindkét oldalt mínusz 6000-rel! Felcseréljük az oldalakat, és azt kapjuk, hogy cos Θ egyenlő ‒ oszthatjuk a számlálót és a nevezőt is -100-zal, így mindkettő pozitív lesz ‒ tehát cos Θ = 57/60, ami még tovább egyszerűsíthető, 57-ben a 3 az 19, egyszerűsítés után egyenlő lesz 19/20-dal. Ezt az egyszerűsítési lépést amúgy nem muszáj megtennünk, hiszen a számológépet fogjuk használni, de ez a számolást egy kicsit követhetőbbé teszi. Most vehetjük mindkét oldal inverz koszinuszát, így Θ = inverz koszinusz (vagy arkuszkoszinusz) 19/20. Vegyük elő a számológépet, és nézzük meg, hogy valami értelmeset kapunk-e! Inverz koszinusz 19/20-ot keressük, és megérdemeljük a dobpergést: 18,19 fokot kapunk. Már ellenőriztem, hogy a számológép fok módban van, és 18,19°-ot mutat. Ha kerekíteni akarunk tizedre, ez kb. 18,2°. Tehát megkaptuk, hogy milyen meredek is a lejtő.