Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:5:58

A háromszög ismeretlen oldalának kiszámítása a szinusztétellel

Videóátirat

Van egy háromszögünk, aminek ismerjük két szögét és egy oldalát. Azt állítom, hogy minden mást is ki tudok számolni ebben a háromszögben, csupán ezt az információt használva. Ha adott két szög és egy oldal, rá tudok jönni, hogy mekkora lesz a másik két oldal, és természetesen a harmadik szöget is ki tudom számolni. Próbáljuk meg ezeket kiszámítani! Úgy fogjuk csinálni, hogy a szinusztételt használjuk. Egy későbbi videóban be fogom bizonyítani a szinusztételt, de itt egyelőre csak megmutatom, hogy hogyan lehet ténylegesen használni azt. Ez egy viszonylag egyszerű ötlet. A szinusztétel megmondja nekünk, hogy az aránya egy szög szinuszának és a vele szemközti oldalnak mindig konstans lesz, a háromszög bármelyik szögére nézve. Így például az itt látható háromszögben, ez egy 30 fokos szög, ez egy 45 fokos szög. A szögek összege 180 fok kell, hogy legyen, így ez a szög itt, 180 mínusz 45 mínusz 30 lesz, ami 180 mínusz 75, tehát ez itt 105 fokos szög lesz. Tehát alkalmazva a szinusztételt, hadd jelöljem el a különböző oldalakat, nevezzük el ezt az oldalt itt 'a' oldalnak vagy 'a' hosszúságú oldalnak, mondjuk, hogy ennek az oldalnak a hossza itt b. Tehát a szinusztétel azt mondja, hogy egy szög szinuszának és a vele szemközti oldalnak az aránya állandó lesz ebben a háromszögben. Azt mondja, hogy ennek a szögnek a szinusza, szinusz 30 fok elosztva a szomszédos oldal hosszával egyenlő lesz 105 foknak a szinusza, szinusz 105 osztva a vele szemben lévő oldal hosszával, ami egyenlő lesz 45 foknak szinusza, szinusz 45 osztva a szemközti oldal hosszával, tehát szinusz 45 fok osztva b-vel. Ha ki szeretnénk számítani 'a'-t, megoldhatnánk ezt az egyenletet, ha pedig b-t szeretnénk megkapni, akkor a piros hányadost egyenlővé tehetnénk a kékkel. Oldjuk meg mindkettőt! Tehát, mi a szinusz 30 fok értéke? Nos, lehet, hogy emlékszel rá az egységkörökből, vagy akár a 30, 60, 90 fokos háromszögekből, hogy ez egyenlő lesz 1/2-el. Ha pedig nem emlékszel rá, számológéppel ellenőrizheted. Én már megbizonyosodtam róla, hogy ez a számológép fokban számol, így 0,5 lesz. Tehát egyenlő lesz 1/2 osztva kettővel. Úgy is mondhatjuk, hogy egyenlő lesz 1/4-el, ez az oldal egyenlő 1/4-el, ami egyenlő szinusz 105 fok osztva 'a' -val. Le is írom, ez egyenlő szinusz 105 fok osztva 'a'-val. Tulajdonképpen azt is mondhatnánk, mivel mindkettőt egyszerre is elvégezhetjük, hogy a piros hányados egyenlő lesz a kékkel. Hogy 1/4 egyenlő szinusz 45 fok osztva b-vel. Igazából a szinusz 45 fok is egyike azon értékeknek, amelyeket az egységkör alapján könnyű kitalálni. Lehet, hogy emlékszel: négyzetgyök kettő osztva kettővel. Írjuk tehát azt, hogy gyök kettő osztva kettővel. Számológépet is használhatsz, de akkor tizedestörtben fogod megkapni ezt az értéket. De bárhogyan is, oldjuk meg az egyenletet 'a'-ra, majd b-re. Tehát megtehetjük azt, hogy vesszük az egyenlet mindkét oldalának reciprokát. 1/4 reciproka négy, a jobb oldal reciproka pedig 'a' per szinusz 105 fok. Aztán, hogy megkapjuk 'a'-t, egyszerűen megszorozhatjuk mindkét oldalt szinusz 105 fokkal. Így azt kapjuk, hogy négyszer szinusz 105 fok egyenlő 'a'-val. Vegyük elő a számológépünket, tehát négyszer szinusz 105 fok körülbelül egyenlő lesz századra kerekítve, 3,86-dal. Tehát 'a' körülbelül 3,86-dal lesz egyenlő. Ami nagyjából jónak tűnik, ha ez kettő és megfelelően helyeztem el a szögeket. Ez körülbelül 3,86-nak tűnik. Találjuk ki azt is, hogy b mekkora! Itt ismét vehetjük a reciprokát mindkét oldalnak, és azt kapjuk, hogy négy egyenlő b osztva négyzetgyök kettő per kettővel. Megszorozhatjuk mindkét oldalt négyzetgyök kettő per kettővel, és azt kapjuk, hogy b egyenlő négyszer négyzetgyök kettő per kettő. Úgy is gondolhatunk rá, hogy b négyszerese a szinusz 45 foknak. Számoljuk ki, hogy az mennyi! Hogyha pontos értéket szeretnénk, egyszerűen leírhatnánk, hogy kétszer gyök kettő, de nézzük meg, hogy ez valójában mennyi. Kétszer négyzetgyök kettő egyenlő 2,83-mal. Tehát b körülbelül 2,83-dal egyenlő. Még egyszer, négy osztva kettővel egyenlő kettő szorozva négyzetgyök kettővel, ami körülbelül 2,83-dal egyenlő, századra kerekítve 2,83, ami szintén elég logikusnak tűnik. A szinusztétel kulcsa, hogy ha adott két szög és egy oldal, akkor minden mást ki lehet számolni a háromszögben, vagy ha adott két oldal és egy szög, akkor is ki lehet minden mást számolni a háromszögben.