A háromszög ismeretlen szögének kiszámítása a szinusztétellel

Tegyük fel, hogy egy barátoddal sárkányt eregettek a szabadban, és ebben a pillanatban 40 méterre állsz a barátodtól. Azt is tudod, hogy a sárkány zsinórja 30 méter hosszú. Megméred a szöget a sárkány és a talajszint között, ahol állsz, és azt látod, hogy ez a szög 40 fokos. Arra vagy kíváncsi, hogy ‒ trigonometria tudásodat felhasználva ‒ ki lehet-e számolni a zsinór és a talaj közötti szöget. Arra biztatlak, hogy állítsd most meg ezt a videót, és gondold végig, hogy ki rá tudsz-e jönni a megadott információk birtokában. Bármikor, amikor egy nem derékszögű háromszöget látok, ahol valamelyik oldal hosszát vagy valamelyik szöget szeretném kiszámolni, rögtön arra gondolok, hogy talán a koszinusztétel vagy a szinusztétel hasznos lehet számomra. Gondoljuk csak végig, hogy melyiket érdemes használni ebben az esetben. Koszinusztétel, le is írom ide, a koszinusztétel szerint c négyzet egyenlő 'a' négyzet plusz b négyzet mínusz 2ab koszinusz théta. Tehát ez azt csinálja, hogy a háromszög 3 oldalát ('a', b, c) összekapcsolja egy szöggel. Például ha ismerek két oldalt és a közbezárt szögüket, kiszámolhatom a harmadik oldalt. Vagy ha ismerem mindhárom oldalt, ki tudom számolni ezt a szöget. De itt most nem ez a helyzet. Szeretnénk kiszámolni ennek a kérdőjelnek az értékét, de nem ismerjük mindhárom oldalt. Megpróbálunk kiszámolni egy szöget, de nem ismerjük mindhárom oldalt. A koszinusztétel, úgy tűnik, hogy ‒ legalábbis kézenfekvő módon ‒ nem fog segíteni. Megpróbálhatnám kiszámolni ezt a szöget is, de megint csak nem ismerjük mindhárom oldalt, ami kellene ahhoz, hogy ki tudjuk számolni a szöget. Hátha a szinusztétel hasznos lehet! Tehát a szinusztétel. Mondjuk, hogy ennek a szögnek a nagysága kis 'a', ennek a szögnek a nagysága kis b, ennek a szögnek a nagysága kis c, ennek az oldalnak a hossza nagy C, ennek az oldalnak a hossza nagy 'A', ennek az oldalnak a hossza pedig nagy B. A szinusztétel kimondja, hogy a szögek szinusza és a szemközti oldalak hossza közötti arány állandó. Tehát szinusz kis 'a' osztva nagy 'A' megegyezik szinusz kis b osztva nagy B-vel, ami ugyanaz lesz, mint szinusz kis c osztva nagy C-vel. Nézzük, hogy ezt fel tudjuk-e itt használni valahogy! Ismerjük ezt a szöget és a szemközti oldalt, így felírhatjuk az arányukat is, szinusz 40 fok osztva 30-cal. Nézzük csak! Mondhatjuk-e, hogy ez egyenlő ennek a szögnek a szinusza osztva ezzel az oldallal? Nos, ez igaz, csakhogy ezek közül egyiket sem ismerjük, így ez sem tűnik most túl hasznosnak. De ismerjük ezt az oldalt, talán fel tudnánk használni a szinusztételt, hogy kiszámítsuk ezt a szöget, mivel ha ismerjük a háromszögnek két szögét, akkor ki tudjuk számolni a harmadikat is. Tegyünk így! Legyen ez a szög itt théta. Tudjuk, hogy ez a távolság 40 méter, így mondhatjuk, hogy szinusz théta osztva 40-nel ugyanannyi lesz, mint szinusz 40 fok osztva 30-cal. Kifejezhetjük thétát és kiszámíthatjuk az értékét. Megszorozva mindkét oldalt 40-nel, azt fogjuk kapni, hogy 40 osztva 30-cal, ami 4/3, 4/3 szorozva szinusz 40 fokkal egyenlő szinusz thétával. Ahhoz, hogy thétát megkapjuk, vegyük mindkét oldalnak az inverz szinuszát! Tehát, vesszük az inverz szinuszát a 4/3-szor szinusz 40 foknak, ‒ tegyünk ide zárójelet ‒ ez egyenlő thétával, így megkaptuk ezt a szöget. ezt az információt felhasználva pedig ki tudjuk számolni azt a szöget, amelyet keresünk. Vegyünk elő számológépet és nézzük meg, hogy tényleg ki tudjuk-e számolni! Megbizonyosodom róla, hogy fok módban van-e a számológép. Nagyon fontos. Rendben, veszem az inverz szinuszát a 4/3-szor szinusz 40 foknak. Ebből azt kapom, ‒ megérdemlek egy kevéske dobpergést ‒ hogy 58 fok, ha egészre kerekítjük, de maradjunk a pontosabb értéknél inkább, tehát körülbelül 58,99 fok. Ha ez a szög 58,99 fokos, akkor ez a másik mekkora? Ez egyenlő lesz 180 fok mínusz ennek a szögnek nagysága mínusz ennek a másik szögnek nagysága. Számoljuk ki! 180 mínusz ez a szög, mínusz 40 fok, mínusz az a szög, amit az előbb kiszámoltunk. Tulajdonképpen megtarthatom a pontos értéket, ha használom az ANS gombot a számológépen. Tehát tartsuk meg az előző választ, és teljesen pontos marad a számítás, 81,01 fokot kapok. Ha kerekíteni szeretném mondjuk századokra, akkor 81,01 fokot kapok. Tehát ez a szög körülbelül 81,01 fok, és készen is vagyunk.