If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:6:34

Videóátirat

Most be fogom bizonyítani a szinusztételt. Lássuk tehát! Rajzolok egy tetszőleges háromszöget, ez az egyik oldala, a másik oldala pedig itt van. Megpróbálom egy kicsit eltúlozni, hogy lásd, hogy ez bármilyen háromszögre alkalmazható. Mondjuk, hogy tudjuk a következő információkat: ismerjük ezt a szöget ‒ nos, inkább nem mondom meg, hogy mi az, amit tudunk vagy nem tudunk, a szinusztétel a különböző oldalak és a különböző szögek kapcsolatáról szól. Legyen ez a szög alfa, ez az oldal A, ennek a hossza A. Legyen ez a szög béta, ez a szakasz pedig B. A béta úgy néz ki, mint egy B, csak ez a vége hosszú. Nézzük, hogy tudunk-e valamilyen kapcsolatot találni A, B, alfa és béta között! Mit tehetünk? Remélem, ez a kapcsolat, amit megtalálunk, a szinusztétel lesz. Különben át kellene neveznem ezt a videót. Hadd rajzoljam be az egyik magasságvonalat! Ez a hivatalos neve, azt hiszem. Húzok egy egyenes vonalat ebből a csúcsból, ami merőleges erre az alsó oldalra. Mellesleg ezt nem jelöltem, de valószínűleg C-nek nevezném, ha kellene, mert a másik két oldal A és B. Ez pedig egy 90 fokos szög lesz. Nem tudom a magasságvonal hosszát, semmit nem tudok róla. Annyit tudok csak, hogy ebből a csúcsból indultam ki, és húztam lefelé egy vonalat, ami merőleges erre az oldalra. Mit tehetünk ezzel a vonallal? Mondjuk azt, hogy a hosszúsága x, ennek a szakasznak a hossza x. Tudunk valamilyen összefüggést találni az A, az x hosszúságú szakasz és a béta között? Hát persze. Nézzük! Választok egy megfelelő színt. Jó, úgy gondolom, hogy ez jó szín lesz. Tehát mi az összefüggés? Ha megnézzük ezt a béta szöget, x szemben van vele, az átfogó pedig A, ha ezt a derékszögű háromszöget nézzük itt. Mi foglalkozik a szemközti oldallal és az átfogóval? Bármikor, amikor trigonometriával találkozunk, írjuk fel a lap tetejére, hogy szisza koma taszem! Szisza koma taszem. Tehát mi az, ami a szemközti oldal és az átfogó között teremt kapcsolatot? A szinusz, ugye? Szisza, és valószínűleg ezt ki is találtad, hiszen éppen a szinusztételt bizonyítom. Tehát béta szinusza megegyezik a szemközti oldal osztva az átfogóval. A szemközti oldalt, x-et osztjuk az átfogóval, ami ebben az esetben A. Ha pedig x-et szeretnénk megkapni, amit mindjárt ki is fejezek, mert jól fog még jönni, megszorozhatjuk mindkét oldalát ennek az egyenletnek A-val. Ezek után azt kapjuk, hogy A szorozva béta szinuszával egyenlő lesz x-szel. Rendben. Valameddig már eljutottunk. Most pedig nézzük meg, hogy tudunk-e összefüggést találni alfa, B és x között! Az előzőhöz hasonlóan, ha megnézzük ezt a derékszögű háromszöget, igen, ez szintén egy derékszögű háromszög, x itt, alfához viszonyítva a szemközti oldal, B pedig az átfogó. Tehát azt is mondhatjuk, hogy alfa szinusza, ‒ hadd írjam másik színnel ‒ alfa szinusza egyenlő a szemközti oldal osztva az átfogóval. Szemközti oldal osztva az átfogóval. A szemközti oldal x, az átfogó pedig B. Ismét fejezzük ki x-et! Szorozzuk meg mindkét oldalt B-vel, így azt kapjuk, hogy B szorozva alfa szinuszával egyenlő x-szel. Mi következik ebből? Kifejeztük kétféleképpen ezt a szakaszt, ami ebből a csúcsból indult, x-et. Tudjuk, hogy A szorozva szinusz bétával egyenlő x-szel, valamint azt, hogy B szorozva szinusz alfával is egyenlő x-szel. Ha mindkettő x-szel egyenlő, akkor egymással is egyenlők. Le is írom ezt. Keresek hozzá egy megnyugtató színt. Tudjuk tehát, hogy A szorozva szinusz bétával egyenlő x-szel, ami szintén egyenlő B szorozva szinusz bétával, ‒ bocs, B szorozva szinusz alfával. B szorozva szinusz alfa. Mit kapunk ha mindkét oldalt elosztjuk A-val? Szinusz bétát kapjuk meg, mivel A-val ezen az oldalon egyszerűsíthetünk. Ez megegyezik B szorozva szinusz alfa osztva A-val. Ha pedig mindkét oldalt elosztjuk B-vel, azt kapjuk, hogy szinusz béta osztva B-vel egyenlő szinusz alfa osztva A-val. Ez a szinusztétel. Az arány szinusz béta és a szemközti oldal között, ami jelen esetben B, megegyezik szinusz alfa és a vele szemközti oldal arányával. Könyvekben sokszor előjön, hogy mondjuk ha ez a szög théta, ez az oldal pedig C, akkor szinusz théta osztva C-vel szintén egyenlő az előzőekkel. Ennek a bizonyítása azonos az előzőekkel. B-t önkényesen választottuk. Ugyanezt megtehettük volna thétával és C-vel, de akkor nem ezt, hanem egy másik magasságvonalat kellett volna berajzolni. Úgy gondolom, hogy ki tudod önállóan is találni ezt a részt már. Az a fontos, hogy megkaptuk ezt az arányt. Természetesen úgy is írhattuk volna, ‒ mivel ez egy arány ‒ hogy megfordítjuk mindkét felét és akkor B osztva szinusz béta egyenlő A osztva szinusz alfát kaptunk volna. Ez hasznos, hiszen ha ismered az egyik oldalt és a vele szemközti szöget, és mondjuk, ismersz egy másik oldalt, akkor ki tudod számolni az ezzel szemközti szöget. Ha ezek közül ismersz három adatot, akkor ki tudod találni a negyediket. Ezért hasznos a szinusztétel. A következőkben lehet, hogy megoldok néhány szinusztételes szöveges feladatot. Találkozunk a következő videóban.