Trigonometria szöveges feladatokban: csillagok távolsága

Artemis tudni szeretné, milyen széles az Orion-öv, amely egy csillagmintázat az Orion csillagképben. Korábban már kiderítette az Alnitak házuktól való távolságát ami 736 fényév, és a Mintakáét, ami 915 fényév. Ezek a Orion-öv végpontjai. Ismeri a két csillagot összekötő szakasz látószögét, ami 3 fok. Mekkora az Orion-öv szélessége, azaz mekkora a távolság az Alnitak és Mintaka között? A választ fényévekben kérik tőlünk. Rajzoljunk egy kis ábrát, hogy értsük, miről is van szó! Sőt, mielőtt elkezdjük, javaslom, hogy állítsd le a videót, és próbáld magad megoldani! Na, akkor készítsünk egy ábrát! Tegyük fel, hogy ez itt Artemis háza (legyen A, mint Artemis). Ne, legyen inkább H, mint a háza. És itt van ez a két csillag, felnéz az éjszakai égboltra, és látja ezt a két csillagot, Alnitak, ami 736 fényévre van tőle, és nyilván nem fogom arányosan lerajzolni, ez itt Alnitak, ez pedig Mintaka. Ismerünk néhány dolgot. Tudjuk, hogy az otthona és az Alnitak között 736 fényév a távolság, vagyis ez a távolság itt – minden amit csinálok fényévekben értendő – 736. Artemis háza és a Mintaka között pedig a távolság 915 fényév, azaz 915 fényévig tartana a házától a Mintakához jutni, vagy a Mintakától a házáig, tehát ez 915 fényév. Amit ki akarunk számítani, az az Orion-öv szélessége, amely az Alnitak és a Mintaka közti távolság. Tehát meg akarjuk határozni ezt a távolságot. Egy dolgot adtak még meg nekünk, ezt a szöget. Megadták ezt a szöget. Azt mondták, hogy a két csillag látószöge az égen 3 fok, ez tehát itt 3 fok. Hogy tudjuk kiszámítani az Alnitak és Mintaka közötti távolságot? Mondjuk ez legyen x. Hogyan csináljuk? Ha van két oldalunk, és megvan a közöttük lévő szög, használhatjuk a koszinusztételt a harmadik oldal kiszámításához. Tehát a koszinusztétel, alkalmazzuk ezt! A koszinusztétel kimondja, hogy x a négyzeten egyenlő a másik két oldal négyzetének összegével, vagyis egyenlő 736 a négyzeten plusz 915 a négyzeten minusz 2-szer 736-szor 915-ször cos(3°). Még egyszer, meg akarjuk határozni a 3 fokos szöggel szemközti oldal hosszát. Ismerjük a másik két oldalt, így a koszinusztétel... (Bocs, köhögnöm kellett a kamerát kikapcsolva, mert ettem egy kis mogyorót és kiszáradt a torkom. Hol is tartottam?) Igen, ha ismerjük a szöget és a szög melletti két oldalt, ki tudjuk számítani a szemközti oldal hosszát a koszinusztétel segítségével. Ez alapvetően úgy kezdődik, mint a Pitagorasz-tétel, de aztán kap egy kiigazítást, mivel ez nem derékszögű háromszög. 736² + 915² mínusz kétszer az oldalak szorzata szorozva ennek a szögnek a koszinuszával. Másképpen úgy is mondhatjuk, hogy x egyenlő a négyzetgyöke ennek az egésznek itt, amit idemásolok. X ennek a négyzetgyöke lesz. Vegyük elő a számológépet és számoljuk ki! Ellenőrizzük, hogy fok módban vagyunk-e! Igen. Ki akarom számolni a négyzetgyökét a 736² plusz 915² mínusz 2-szer 736-szor 915-ször cos(3°)-nak. És most kiérdemeltük a dobpergést, x = száz... ha kerekítünk, nézzük csak, mit is kérnek tőlünk? Kerekítsd a választ egész fényévre! Így a legközelebbi fényév 184 fényév lesz, vagyis x kb. 184 fényév. 184 fényévbe telne eljutni a Mintakaról az Alnitakra. Remélhetőleg látod már ebből, hogy ha valamilyen csillagászati számítást akarsz csinálni, a koszinusztétel, a szinusztétel, tulajdonképpen az egész trigonometria meglehetősen praktikus segítség lesz.