If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:8:56

Videóátirat

Itt látható két derékszögű háromszög. Tegyük fel, hogy van még egy-egy olyan szögük, amelyeknek a nagysága egyenlő thétával. Tehát az A csúcsnál és a D csúcsnál ugyanakkora szög van. Mit tudunk a két háromszögről? Ha bármely háromszögnek ismered két szögét, ki tudod számolni a harmadikat, mivel a háromszög szögeinek összege 180 fok. Tehát ha van két egyenlő szögük, akkor mindhárom szögük megegyezik. Ha a szögek megegyeznek, akkor hasonló háromszögekkel van dolgunk. Hadd világítsam ezt meg jobban! Tehát ez a szög a théta, ez pedig 90 fok. A három szög összege 180 fok. Ez azt jelenti, hogy ez a szög plusz ez a szög összesen 90 fok. Az itt lévő derékszög 90 fok, így az A és B csúcsnál lévő szögek biztosan pótszögek. Tehát ez a szög itt 90 fok mínusz théta. Hasonló logikával gondolkozhatunk itt is: Az itt lévő derékszög 90 fok, így a maradék 90 fokot a théta plusz ez a szög adja ki, tehát ez a szög 90 fok mínusz théta. Van három-három páronként megegyező szögünk, hasonló háromszögekkel van dolgod. Miért érdekes ez? Geometriából már tudjuk, hogy a hasonló háromszögek megfelelő oldalainak aránya mindig ugyanannyi. Keressük meg a megfelelő oldalakat! Az az oldal, amelyik szembetűnik, ha derékszögű háromszöggel van dolgunk, az mindig az átfogó. Szóval ez itt az átfogó. Ez az átfogó megfelel ennek az átfogónak. Ezt most le is írhatjuk. Ez az átfogója ennek a háromszögnek, ez pedig ennek a háromszögnek az átfogója. Most pedig nézzük ezt a BC oldalt! Melyik oldal felel meg neki? Ha megnézed ebben a háromszögben, ez a théta szöggel szemben van, tehát ez a szemközti befogó, ha keresztülhaladsz a háromszögön, ide jutsz. Tekintsük a D szöggel szemközti befogót! Az A szöggel szemközti befogó a BC, a D szöggel szemközti befogó az EF. Tehát ez az oldal felel meg neki. Végül csak az AC oldal maradt. Láthatjuk, hogy a háromszög két oldala az A szög két szára, az egyik az átfogó, ezt pedig nevezhetjük a szög melletti befogónak. Mivel D megfelel az A-nak, ez az oldal felel meg neki. Ezt az egészet azért csináltam, hogy megmutassam, hogy a hasonló háromszögek megfelelő oldalainak aránya mindig ugyanannyi. Tehát például a BC és az átfogó, BA aránya, ‒ hadd írjam le ‒ BC/BA egyenlő lesz az EF/ED-vel, az EF és az ED szakaszok arányával. Vagy felírhatjuk azt is, hogy az AC szakasz és az átfogó aránya, itt az átfogó AB, egyenlő DF/DE ‒ még egyszer, ez a zöld oldal per a narancssárga oldal. Ezek hasonló háromszögek, tehát ez egyenlő DF/DE-vel. És folytathatnánk, még egyet felírok. Mondhatjuk, hogy ennek a kék oldalnak és ennek a zöld oldalnak az aránya ebben a háromszögben BC/CA ugyanannyi lesz, mint itt a két megfelelő oldal aránya, a kék aránya a zöldhöz, azaz EF/DF. Ezt mind abból kiindulva kaptuk, hogy ezek hasonló háromszögek. Ez tehát bármelyik derékszögű háromszögre igaz, amelynek az egyik szöge théta. Ekkor a két háromszög hasonló lesz, és ezek az arányok ugyanazok lesznek. Elnevezhetjük esetleg ezeket az arányokat a théta szöghez viszonyítva. Tehát a théta szög szempontjából ‒ ideírom a thétát, vagy csak észben kell tartanunk ‒, melyik két oldal aránya ez? Nos, a théta szög szempontjából a kék oldal szemben van, ez a derékszögű háromszög szemközti befogója, a narancssárga oldal az átfogó, tehát a théta szempontjából ez a szemközti befogó per az átfogó. Maradjunk továbbra is a thétánál, hiszen ha nem így tennénk, az más helyzet lenne, a B szög szempontjából. A B szög szempontjából ez a szomszédos befogó per az átfogó, de ezzel a viszonylattal majd később foglalkozunk. Most nézzük ezt továbbra is a théta szög szempontjából! Tehát a théta szempontjából ez mi? Nos, itt van a théta, világos, hogy az AB és a DE az átfogók, (nem tudom, hogy is kell többesszámban mondani.) És mi az AC, mi a DF? Nos, ezek a szög melletti befogók, ezek a szög száraira illeszkedő két oldal közül az átfogótól eltérő oldalak. Láthatjuk, hogy az arányban mindkét háromszögben a szög melletti befogó szerepel, Még egyszer, ez a B szöggel szemközti, de mi csak ezt az A szöget vizsgáljuk, amelynek a nagysága théta, vagy a D szöget. az A szöghöz képest AC a szög melletti befogó, a D szöghöz viszonyítva DF a szög melletti befogó. Tehát ez az arány a szög melletti befogó per az átfogó, és ez bármelyik derékszögű háromszögben ugyanannyi lesz, ha annak egyik szöge théta. És végül ez a szemközti befogó, még egyszer, ez volt a szemközti befogó. Ez az arány bármely derékszögű háromszögben a szemközti befogó per a szög melletti befogó. És tényleg szeretném hangsúlyozni, hogy milyen fontos (és még sok-sok példát fogunk csinálni erre), hogy bármilyen derékszögű háromszög esetén, amelynek az egyik szöge théta, a szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya ugyanannyi. Ez a hasonló derékszögű háromszögekből következik, éppen most vettük ezt át. A szomszédos oldal és az átfogó aránya is ugyanannyi lesz ezekben a háromszögekben, mindaddig, míg az egyik szög théta. És a théta szöghöz viszonyítva ez az arány is, a szemközti befogó és a szög melletti befogó aránya, a kék oldal aránya a zöld oldalhoz, mindig ugyanannyi lesz, mivel ezek hasonló háromszögek. Ezt figyelembe véve, a matematikusok elhatározták, hogy elnevezik ezeket. A théta szöghöz viszonyítva ez az arány mindig ugyanaz lesz, tehát a szemközti befogó és az átfogó arányát elnevezték szinusz thétának. Hadd írjam ezt egy új színnel. Definíció szerint ‒ és ezt a definíciót majd a jövőben kibővítjük ‒ ez a szinusz théta. Ez itt, definíció szerint koszinusz théta. És ez itt definíció szerint tangens théta. És van egy emlékeztető amely segít megjegyezni ezeket, amelyek valójában csak definíciók. Megfigyelték, hogy a hasonló derékszögű háromszögekben bármilyen théta szög esetén ez az arány mindig ugyanannyi lesz, mert ezek hasonló háromszögek, bármekkora a théta szög, így ez az arány mindig ugyanannyi lesz. Ez az arány mindig ugyanaz, így megalkották ezeket a definíciókat. És hogy könnyebben megjegyezzük, itt van a „SziSza-KoMA-TaSzeM” emlékeztető. Leírom. SZISZA : SZInusz a szöggel SZemközti befogó per Átfogó , KOMA: KOszinusz a szög Melletti befogó per Átfogó, s végül TASZEM: a TAngens: a SZEmközti befogó per Melletti befogó, SZISZA-KOMA-TASZEM. A következő videókban a hegyesszögek szögfüggvényeihez ezeket a definíciókat fogjuk alkalmazni.