Fő tartalom

Trigonometria

Tantárgy/kurzus: Trigonometria > 1. témakör

7. lecke: Reciprok szögfüggvények

Reciprok szögfüggvények

Tanuld meg, hogy a koszekáns, szekáns és kotangens az alapvető szögfüggvényeknek, a szinusznak, koszinusznak és tangensnek a reciprokai!

Korábban már megismerkedtünk az alapvető szögfüggvényekkel.

Van azonban három további, figyelemre méltó hányados:

start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction helyett vizsgálhatjuk start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction-t.
start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction helyett vizsgálhatjuk start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction-t.
start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction helyett vizsgálhatjuk start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction-t.

Ezek az új hányadosok a reciprok szögfüggvények. Az alábbiakban megismerkedhetünk az elnevezésükkel.

A koszekáns left parenthesis, \csc, right parenthesis

A koszekáns a szinusz reciproka. A derékszögű háromszög átfogójának és az adott szöggel szemben lévő befogónak a hányadosa. Magyarul általában cosec-ként hivatkoznak rá.

sine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #11accd, start text, s, z, o, with, \", on top, g, g, e, l, space, s, z, e, m, k, o, with, \", on top, z, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, end text, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, t, f, o, g, o, with, \', on top, end text, end color #aa87ff, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction

\csc, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, t, f, o, g, o, with, \', on top, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, start text, s, z, o, with, \", on top, g, g, e, l, space, s, z, e, m, k, o, with, \", on top, z, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, end text, end color #11accd, end fraction, equals, start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction

A szekáns left parenthesis, \sec, right parenthesis

A szekáns a koszinusz reciproka. A derékszögű háromszög átfogójának és az adott szög melletti befogónak a hányadosa.

cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #ed5fa6, start text, s, z, o, with, \", on top, g, space, m, e, l, l, e, t, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, end text, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, t, f, o, g, o, with, \', on top, end text, end color #aa87ff, end fraction, equals, start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction

\sec, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, t, f, o, g, o, with, \', on top, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, start text, s, z, o, with, \", on top, g, space, m, e, l, l, e, t, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, end text, end color #ed5fa6, end fraction, equals, start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction

A kotangens left parenthesis, cotangent, right parenthesis

A kotangens a tangens reciproka. A derékszögű háromszög adott szögével szomszédos és a vele szemközti befogó hányadosa. Magyarul általában ctg-ként hivatkoznak rá.

tangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #11accd, start text, s, z, o, with, \", on top, g, g, e, l, space, s, z, e, m, k, o, with, \", on top, z, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, end text, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, start text, s, z, o, with, \", on top, g, space, m, e, l, l, e, t, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, end text, end color #ed5fa6, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction

cotangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #ed5fa6, start text, s, z, o, with, \", on top, g, space, m, e, l, l, e, t, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, end text, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, start text, s, z, o, with, \", on top, g, g, e, l, space, s, z, e, m, k, o, with, \", on top, z, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, end text, end color #11accd, end fraction, equals, start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction

Hogyan jegyezzük meg mindezt?

A legtöbb ember számára ezek a szögfüggvények a reciprokaik segítségével memorizálhatók a legkönnyebben. Az alábbi táblázat összegzi ezeket a relációkat.

	Köznapi meghatározás	Matematikai meghatározás
koszekáns	A koszekáns a szinusz reciproka.	\csc, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction
szekáns	A szekáns a koszinusz reciproka.	\sec, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction
kotangens	A kotangens a tangens reciproka.	cotangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, tangent, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction

A szögfüggvények reciprokainak meghatározása

Nézzünk egy példát!

Az alábbi háromszögben határozzuk meg a \csc, left parenthesis, C, right parenthesis, \sec, left parenthesis, C, right parenthesis és cotangent, left parenthesis, C, right parenthesis értékeket.

Megoldás

A koszekáns meghatározása

Tudjuk, hogy a koszekáns a szinusz reciproka.

Mivel a szinusz a szemközti befogó és az átfogó hányadosa, a koszekáns az átfogó és a szemközti befogó hányadosa.

\begin{aligned}\csc (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{átfogó}}} {\blueD{\text{szöggel szemközti befogó}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{8}} \end{aligned}

A szekáns meghatározása

Tudjuk, hogy a szekáns a koszinusz reciproka.

Mivel a koszinusz a szög melletti befogó és az átfogó hányadosa, a szekáns az átfogó és a szög melletti befogó hányadosa.

\begin{aligned}\sec (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{átfogó}}}{\maroonC{\text{szög melletti befogó}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{8}} \end{aligned}

A kotangens meghatározása

Tudjuk, hogy a kotangens a tangens reciproka.

Mivel a tangens a szemközti és a szög melletti befogó hányadosa, a kotangens a szög melletti és a szemközti befogó hányadosa.

\begin{aligned}\operatorname{ctg}(C) &= \dfrac{\maroonC{\text{szög melletti befogó}}}{\blueD{\text{szöggel szemközti befogó}}} \\\\ &= \dfrac{{8}}{{15}} \end{aligned}

[Szeretnék több példát látni!]

Próbálkozz egyedül!

1 . feladat

\csc, left parenthesis, X, right parenthesis, equals

2 . feladat

\sec, left parenthesis, W, right parenthesis, equals

3 . feladat

cotangent, left parenthesis, R, right parenthesis, equals

Fejtörő

Mennyi a \csc, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis pontos értéke?

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Jelentkezz be

Rendezés:

Még nincs hozzászólás.

Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.