Reciprok szögfüggvények kiszámítása

Határozzuk meg az alábbi derékszögű háromszög A szögének mind a 6 szögfüggvényét! Ez itt az A szög, az A csúcsnál, és hogy visszaemlékezzek a szögfüggvények definíciójára – melyeket matematikusok definiáltak és rendkívül hasznosnak bizonyultak egy sor tudományterületen. Szóval emlékeztetőül használom a szisza-koma-taszemet. Hadd írjam le, szisza koma taszem. Gondolhatsz rá egyetlen szóként, de valójában 3 része van és három szögfüggvényt határoz meg. A másik hármat pedig ezekből származtatjuk majd. Tehát a szisza megadja, hogy egy szög szinusza, esetünkben az A szög szinusza megegyezik a szemközti befogó per átfogóval. Jelen esetben, melyik az A szöggel szemközti befogó? Áthaladva a háromszögön, az A szög a BC felé nyílik, ami 12 hosszúságú, ez tehát a szemközti oldal, ez egyenlő 12-vel. És melyik az átfogó? Az átfogó a háromszög leghosszabb oldala, amelyik a 90 fokkal szemben van. Megyünk a 90 fokkal szemben, a leghosszabb oldal az AB, aminek a hossza 13. Szóval ez itt az átfogó. Így az A szög szinusza 12/13. Nézzük a koszinuszt! A koma definiálja nekünk a koszinuszt, egy szög koszinusza — esetünkben az A koszinusza — egyenlő a szög melletti oldal per az átfogó. Mi az A szög melletti befogó? Ha nézzük az A szöget, két oldal van mellette. Az egyik az átfogó, a másik az 5 hosszúságú. Az A melletti befogó a CA, vagyis 5. És melyik az átfogó? Ezt már tudjuk, ez itt az átfogó, szemközt a 90 fokos szöggel, ez a derékszögű háromszög leghosszabb oldala, 13 a hossza. Így koszinusz A egyenlő 5/13. Hadd jelöljem meg ezt, ez a melletti befogó. Mindez az A szögre jellemző, az átfogó ugyanakkora lenne, függetlenül attól, melyik szöget választanánk, de a szemközti és a melletti oldal hossza attól függ, melyik szögét választjuk a derékszögű háromszögnek. Nézzük most a tangenst! A taszem adja meg a szög tangensét, megadja, hogy egy szög tangense a szemközti és a melletti befogók hányadosa. Ebből a definícióból kiindulva, mekkora tangens A? A szemközti befogót már meghatároztuk, ez 12 hosszú, és a melletti befogót is, ez pedig 5. Tehát tangens A, szemközti per melletti egyenlő 12/5. Nézzük akkor a másik három szögfüggvényt, amelyekre az előző három reciprokaként kellene gondolnunk, de definiálni fogom őket. Először a koszekánst. A koszekáns esetében egy kicsit nehéz következtetni, hogy miért koszekáns a szinusz reciproka, amikor ko-val kezdődik, mint a koszinusz. De a koszekáns a szinusz reciproka, szóval ha a szinusz a szemközti per átfogó, akkor a koszekáns az átfogó per szemközti. És mennyi az átfogó per szemközti? Az átfogó 13 és a szemközti befogó 12. És láthatjuk, hogy 13/12 a reciproka 12/13-nak. A szekáns a koszinusz reciproka, a melletti per átfogó helyett, — amelyet a koma adna meg számunkra — átfogó per melletti. Mekkora a szekáns A? Az átfogó, mint azt már tudjuk, 13, és a szög melletti befogó 5. Azaz 13/5, ami tehát a koszinusz A, vagyis 5/13 reciproka. Végül vegyük a kotangenst! A kotangens a tangens reciproka, a szemközti per melletti helyett melletti per szemközti. Mekkora tehát a kotangens A? Az A szög melletti befogót már többször meghatároztuk, ennek a hossza 5, az A szöggel szemközti befogó pedig 12, vagyis 5/12, ami, még egyszer, a reciproka tangens A-nak, vagyis 12/5-nek.