Fő tartalom

Tantárgy/kurzus: Trigonometria > 1. témakör

5. lecke: Pótszögek szinusza és koszinusza

Speciális háromszögek szögfüggvényei

Tanuld meg, hogyan számolhatjuk ki a szinuszt, koszinuszt és tangenst a 45-45-90 háromszögekben és a 30-60-90 háromszögekben!

Eddig számológép segítségével számítottuk ki a szögek szinuszát, koszinuszát és tangensét. Bizonyos szögek szögfüggvényeit azonban számológép segítsége nélkül is kiszámíthatjuk.

Ez azért lehetséges, mert van két olyan speciális háromszög, melyek oldalarányait már ismerjük. Az egyik a 45-45-90 háromszög (az egyenlő szárú derékszögű háromszög), a másik a 30-60-90 háromszög.

A speciális háromszögek

A 30-60-90 háromszög

A 30-60-90 háromszög olyan derékszögű háromszög, melynek másik két szöge

30^{\circ}

és

60^{\circ}

A 45-45-90 háromszög

A 45-45-90 háromszög olyan derékszögű háromszög, melynek másik két szöge

45^{\circ}

A $30^{\circ}$ ‍ szögfüggvényei

Készen állunk, hogy kiszámítsuk ezeknek a speciális szögeknek a szögfüggvényeit. Kezdjük a

30^{\circ}

-kal!

Tanulmányozd az alábbi példát, hogy megértsd, hogyan kell csinálni!

Mennyi $\sin (30^{\circ})$ ‍?

Íme a kidolgozott példa:

1. lépés: Rajzoljuk le a speciális háromszöget a megfelelő szögekkel!

2. lépés: Írjuk fel a háromszög oldalaira a megfelelő arányokat!

3. lépés: A szögfüggvény definíciója alapján határozzuk meg a kifejezés értékét!

\begin{aligned} \sin (30^{\circ}) & = \frac{szöggel szemközti befogó}{átfogó} \\ = \frac{x}{2 x} \\ = \frac{1 x}{2 x} \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}

Mivel

x

egyenlő

1 x

-szel, ezért

\frac{x}{2 x} = \frac{1 x}{2 x} = \frac{1}{2}

Most ugyanezzel a módszerrel számítsuk ki a

\cos (30^{\circ})

és a

\tan (30^{\circ})

értékét!

Mennyi $\cos (30^{\circ})$ ‍?

Mennyi $\tan (30^{\circ})$ ‍?

A $45^{\circ}$ ‍ szögfüggvényei

Próbáljuk meg ugyanezt a

45^{\circ}

-kal! Először rajzolunk egy 45-45-90 háromszöget, és megjelöljük az oldalait.

Mennyi $\cos (45^{\circ})$ ‍?

Mennyi $\sin (45^{\circ})$ ‍?

Mennyi $\tan (45^{\circ})$ ‍?

A $60^{\circ}$ ‍ szögfüggvényei

30^{\circ}

45^{\circ}

és

60^{\circ}

speciális szögek szögfüggvényeit ugyanazzal a módszerrel számíthatjuk ki.

Most már minden információ rendelkezésünkre áll a

60^{\circ}

szögfüggvényeinek kiszámításához!

Mennyi $\cos (60^{\circ})$ ‍?

Mennyi $\sin (60^{\circ})$ ‍?

Mennyi $\tan (60^{\circ})$ ‍?

Összefoglalás

Kiszámítottuk a

30^{\circ}

45^{\circ}

és

60^{\circ}

szögfüggvényeit. Az eredményeket az alábbi táblázat foglalja össze:

	$\cos (θ)$ ‍	$\sin (θ)$ ‍	$\tan (θ)$ ‍
$θ = 30^{\circ}$ ‍	$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ‍	$\frac{1}{2}$ ‍	$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ‍
$θ = 45^{\circ}$ ‍	$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ‍	$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ‍	$1$ ‍
$θ = 60^{\circ}$ ‍	$\frac{1}{2}$ ‍	$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ‍	$\sqrt{3}$ ‍

Ezek az értékek gyakran fel fognak bukkanni a haladó trigonometriai feladatokban, ezért hasznos ismerni őket.

Van, aki szereti megjegyezni ezeket az értékeket, de ez nem feltétlenül szükséges. Ebben a leckében te magad számítottad ki őket, így remélhetőleg ezt bármikor meg fogod tudni ismételni, ha a jövőben szükséged lesz rájuk.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Jelentkezz be

Rendezés:

Még nincs hozzászólás.

Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.

Trigonometria

Tantárgy/kurzus: Trigonometria > 1. témakör

A speciális háromszögek

A 30∘‍ szögfüggvényei

Mennyi sin⁡(30∘)‍ ?

Mennyi cos⁡(30∘)‍ ?

Mennyi tan⁡(30∘)‍ ?

A 45∘‍ szögfüggvényei

Mennyi cos⁡(45∘)‍ ?

Mennyi sin⁡(45∘)‍ ?

Mennyi tan⁡(45∘)‍ ?

A 60∘‍ szögfüggvényei

Mennyi cos⁡(60∘)‍ ?

Mennyi sin⁡(60∘)‍ ?

Mennyi tan⁡(60∘)‍ ?