Fő tartalom

Trigonometria

Tantárgy/kurzus: Trigonometria > 1. témakör

5. lecke: Pótszögek szinusza és koszinusza

Speciális háromszögek szögfüggvényei

Tanuld meg, hogyan számolhatjuk ki a szinuszt, koszinuszt és tangenst a 45-45-90 háromszögekben és a 30-60-90 háromszögekben!

Eddig számológép segítségével számítottuk ki a szögek szinuszát, koszinuszát és tangensét. Bizonyos szögek szögfüggvényeit azonban számológép segítsége nélkül is kiszámíthatjuk.

Ez azért lehetséges, mert van két olyan speciális háromszög, melyek oldalarányait már ismerjük. Az egyik a 45-45-90 háromszög (az egyenlő szárú derékszögű háromszög), a másik a 30-60-90 háromszög.

A speciális háromszögek

A 30-60-90 háromszög

A 30-60-90 háromszög olyan derékszögű háromszög, melynek másik két szöge 30, degrees és 60, degrees.

[Biztos, hogy így van? Megnézhetem, hogy jöttek ki ezek az arányok?]

A 45-45-90 háromszög

A 45-45-90 háromszög olyan derékszögű háromszög, melynek másik két szöge 45, degrees.

[Biztos, hogy így van? Megnézhetem, hogy jöttek ki ezek az arányok?]

A 30, degrees szögfüggvényei

Készen állunk, hogy kiszámítsuk ezeknek a speciális szögeknek a szögfüggvényeit. Kezdjük a 30, degrees-kal!

Tanulmányozd az alábbi példát, hogy megértsd, hogyan kell csinálni!

Mennyi sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Íme a kidolgozott példa:

1. lépés: Rajzoljuk le a speciális háromszöget a megfelelő szögekkel!

[Miért?]

2. lépés: Írjuk fel a háromszög oldalaira a megfelelő arányokat!

3. lépés: A szögfüggvény definíciója alapján határozzuk meg a kifejezés értékét!

\begin{aligned} \sin (30^\circ) &= \dfrac{\text{szöggel szemközti befogó }}{\text{átfogó}} \\\\ &= \dfrac{x}{2x} \\\\ &= \dfrac{1\maroonD{\cancel{x}}}{2\maroonD{\cancel{x}}} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\end{aligned}

Mivel x egyenlő 1, x-szel, ezért start fraction, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.

Most ugyanezzel a módszerrel számítsuk ki a cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis és a tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesisértékét!

Mennyi cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

[Megnézem a megoldást.]

Mennyi tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

A 45, degrees szögfüggvényei

Próbáljuk meg ugyanezt a 45, degrees-kal! Először rajzolunk egy 45-45-90 háromszöget, és megjelöljük az oldalait.

Mennyi cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

[Kérek egy kis segítséget!]

Mennyi sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Mennyi tangent, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

A 60, degrees szögfüggvényei

A 30, degrees, 45, degrees és 60, degrees speciális szögek szögfüggvényeit ugyanazzal a módszerrel számíthatjuk ki.

Most már minden információ rendelkezésünkre áll a 60, degrees szögfüggvényeinek kiszámításához!

Mennyi cosine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

[Kérek egy kis segítséget!]

Mennyi sine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Mennyi tangent, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Összefoglalás

Kiszámítottuk a 30, degrees, 45, degrees és 60, degrees szögfüggvényeit. Az eredményeket az alábbi táblázat foglalja össze:

	cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis	sine, left parenthesis, theta, right parenthesis	tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis
theta, equals, 30, degrees	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 3, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 3, end square root, end fraction, end color #1fab54
theta, equals, 45, degrees	start color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ff	start color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ff	start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff
theta, equals, 60, degrees	start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, square root of, 3, end square root, end color #1fab54

Ezek az értékek gyakran fel fognak bukkanni a haladó trigonometriai feladatokban, ezért hasznos ismerni őket.

Van, aki szereti megjegyezni ezeket az értékeket, de ez nem feltétlenül szükséges. Ebben a leckében te magad számítottad ki őket, így remélhetőleg ezt bármikor meg fogod tudni ismételni, ha a jövőben szükséged lesz rájuk.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Jelentkezz be

Rendezés:

Még nincs hozzászólás.

Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.

Trigonometria

Tantárgy/kurzus: Trigonometria > 1. témakör

A speciális háromszögek

A 30∘30^\circ30∘30, degrees szögfüggvényei

Mennyi sin⁡(30∘)\sin(30^\circ)sin(30∘)sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Mennyi cos⁡(30∘)\cos(30^\circ)cos(30∘)cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Mennyi tan⁡(30∘)\tan(30^\circ)tan(30∘)tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

A 45∘45^\circ45∘45, degrees szögfüggvényei

Mennyi cos⁡(45∘)\cos(45^\circ)cos(45∘)cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Mennyi sin⁡(45∘)\sin(45^\circ)sin(45∘)sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Mennyi tan⁡(45∘)\tan(45^\circ)tan(45∘)tangent, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

A 60∘60^\circ60∘60, degrees szögfüggvényei

Mennyi cos⁡(60∘)\cos(60^\circ)cos(60∘)cosine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Mennyi sin⁡(60∘)\sin(60^\circ)sin(60∘)sine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Mennyi tan⁡(60∘)\tan(60^\circ)tan(60∘)tangent, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?