Trigonometria fejtörő: szögfüggvény értékek és az oldalak aránya

Rendezd az alábbi kifejezéseket értékük szerint! Egy kategóriába akárhány kártyát helyezhetsz, vagy üresen is maradhatnak. Itt van ez az ábra, és itt vannak a kártyák a kifejezésekkel, amelyeket ezekbe a különböző csoportokba kell elhelyeznünk. Pl. nézzük meg, hogy az AC szakasz hossza per a BC szakasz hossza ezek közül a kifejezések közül melyikkel egyenlő? És akkor át kell húznunk a megfelelő helyre. Hogy ezt megoldjam, újra lerajzoltam a feladatot az én kis vázlat táblámra, nevezzük annak. Ez tehát ugyanaz az ábra, egy kicsit felnagyítva. Íme a kifejezések, amelyeket át kell majd húznunk, és itt vannak a kategóriák, amelyek segítségével látni fogjuk, hogy mely kifejezések melyekkel egyeznek meg ezek közül. Nézzük először ezt, az AC szakasz hossza per a BC szakasz hossza. Gondolkodjunk, mi is az AC. Az AC szakasz hossza, ez itt az AC, ez a hosszúság lilával jelölve, per a BC szakasz, ez a hossz. Ez nem más mint egy derékszögű háromszög két oldalának aránya. Nyilvánvaló, hogy ez egy derékszögű háromszög, az ABC háromszög. Be is szinezhetem, hogy lásd, melyik háromszögről beszélek, az ABC háromszög ez az egész itt, erre koncentrálunk most. Ésszerűnek tűnik azt feltételezni, hogy egy derékszögű háromszög két oldalának aránya valamelyik szögének a szinusza lesz. Megadják nekünk az egyik szöget, ezt itt. Mondhatod persze, hogy csak megjelölték ezt a szöget, de látod, hogy itt is és itt is egyvonalas ív szerepel, szóval mindenhol, ahol egyvonalas ív van, az 30 fok, tehát ez is 30 fok. Itt kétvonalas ív van, ez 41 fok. Itt is kétvonalas ív van, megegyeznek, ez is 41 fok lesz. Itt pedig három ív van. Nem írják, mekkora ez a szög, de ez a három íves szög egyenlő ezzel a három íves szöggel. Tehát erről a sárga, ABC háromszögről tudjuk, hogy ez a szöge 30 fok, és megadják nekünk ezt a két oldalt. Hogyan is viszonyulnak ezek az oldalak ehhez a 30 fokos szöghöz? Az AC oldal mellette van, szó szerint ez a szög egyik szára, amelyik nem az átfogó, hadd írjam le. Ez a szög mellett befogó.. És mi a BC? A BC ennek a derékszögű háromszögnek az átfogója. Ez van szemben a 90 fokkal, ez az átfogó. Nos, melyik az a szögfüggvény, amit a 30 fokra alkalmazva a melletti befogó per átfogó értéket kapjuk? Hadd írjam le emlékeztetőül a szisza-koma-taszemet. Egy szög szinusza a szemközti per átfogó, koszinusza a melletti per átfogó. Koszinusz 30 fok (hadd írjam le) egyenlő a szög melletti befogó hossza, azaz AC, per az átfogó hossza, ami BC. Szóval ez itt ugyanaz, mint a koszinusz 30 fok. Szóval húzzuk ezt ide, ez megegyezik koszinusz 30 fokkal. Nézzük akkor a következőt! A DEC szög koszinusza. Hol van a DEC? D-E-C, ez a szög, négy ívet teszek ide, így nem keverjük össze, szóval ez a DEC szög. Mekkora koszinusz DEC? Még egyszer, koszinusz a melletti per átfogó, azaz koszinusz DEC, a melletti befogó, ez itt. Esetleg megkérdezheted, nem ez az oldal a melletti? Nos, a DE oldal az valójában az átfogó, vagyis nem az lesz a melletti befogó. A szög melletti befogó, hívhatjuk EC-nek is, az EC szakasz. Az átfogó pedig, az átfogó hossza — az átfogó a DE vagy ED oldal, ahogy akarod — ide írhatjuk, DE. És még mivel egyenlő ez? Nem látjuk itt ezt az opciót, nem szerepel az EC per DE mint választható lehetőség. De meg van adva az egyik szög, meghatározták, hogy ez 41 fok. És a hányadosa ennek a zöld oldalnak és a narancs színűnek, vajon mi lenne, ha alkalmazni akarnánk egy szögfüggvényt erre a szögre? E szöget tekintve a zöld oldal a szemközti, és a narancs továbbra is az átfogó. Tehát a 41 fokot tekintve ez a hányados a szemközti per átfogó. Ez a koszinusza ennek a szögnek, de ugyanakkor a szinusza ennek. A szinusz a szemközti per átfogó, tehát ez egyenlő szinusz ez a szög, azaz szinusz 41 fok. Vagyis ez itt, szinusz 41 fok. Húzzuk ezt most a megfelelő helyre. Szinusz 41 fok ugyanaz, mint a DEC szög koszinusza. Már csak kettő van hátra. Most rá kell jönnünk, mi a CDA szög szinusza. Nézzük, hol van ez a CDA. CDA ez a teljes szög itt. Ide rajzolhatok egy csomó ívet, hogy jelezzem, hogy ez különbözik az összes többitől. Szóval erről a szögről van szó. Ezzel a nagyobb derékszögű háromszöggel foglalkozunk most. Hadd szinezzem át rózsaszínűre. Tehát most ezzel a nagyobb derékszögű háromszöggel foglalkozunk. Ennek az egésznek a szinusza érdekel minket. Ne feledd, a szinusz a szemközti per átfogó, a szemközti befogó a CA oldal, ez tehát egyenlő CA hosszával, per az átfogó, ami AD. Megint csak, ezt nem látjuk a választékban, de talán kifejezhetjük ezt az arányt úgy, hogy egy szögfüggvényt alkalmazunk egy másik szögre. És megadták az egyik szöget, ezt a szöget itt, nevezzük DAC szögnek, ami 30 fok. És ezt a szöget tekintve melyik az a két oldal, amelyeknek az arányát nézzük? Ezt a szöget tekintve a melletti befogó és az átfogó arányáról van most szó. Szóval ez a szög melletti befogó per átfogó. Mi foglalkozik a melletti per átfogóval? Nos, a koszinusz. Ez tehát egyenlő ennek a szögnek a koszinuszával, azaz ez egyenlő koszinusz 30 fokkal. Szinusz CDA egyenlő ennek a szögnek a koszinuszával. Szóval ez itt egyenlő ezzel. Hadd húzzam a helyére, szóval ez egyenlő — látod, hogy idehúztam — egyenlő ezzel. Már csak egy van hátra. A célegyenesben vagyunk, izgatottnak kellene lennünk. AE per EB. AE, hadd használjam ezt a színt, az AE szakasz hossza. Ez a hossz. (hadd emeljem ki jobban, pirossal) Ez a színes itt, az AE szakasz hossza per az EB szakasz hossza. Ez itt az EB. Most koncentráljunk erre a derékszögű háromszögre. Ismerjük ennek a szögnek az értékét, ez egy kétvonalas ív, amiről tudjuk, hogy 41 fokos. Itt is kétvonalas jelzés van, így ez is 41 fok lesz. Ezt a szöget tekintve milyen arány ez? Ez a szemközti per átfogó. Ez tehát a szinusza ennek a szögnek, szinusz 41 fok. Szóval ez megegyezik ezzel az elsővel. Húzzuk a helyére, ez egyenlő szinusz 41 fokkal. Egyik sem lett egyenlő tangens 41 fokkal. Nézzük meg, hogy jól csináltuk-e, remélem, igen. Igen.