Trigonometria szöveges feladat: pótszögek

A Nílus kiáradt és elöntötte az egész környéket, kivéve a gízai nagy piramis tetejét Egyiptomban. Egy kutatócsoportot küldtek oda, hogy vizsgálják meg, milyen magasra emelkedett a víz. Az emberek megmérték, hogy a piramis csúcsa 72 méter távolságra volt a víztől. Tehát ez a távolság itt 72 méter. Tudták, hogy az él teljes hossza, amikor nincs elárasztva, 180 méter. Vagyis ez az egész távolság 180 méter. Azt is tudták, hogy a a piramis magassága 139 méter. Tehát ez 139 méter. Milyen magasan van a vízszint a föld felett? A föld itt van a piramis aljánál. És a víz szintjét akarják meghatározni. Szóval ez a keresett magasság. Jelöljük ezt h-val! Ki akarjuk számolni, mennyi a h. Kerekítsünk, ha szükséges, két tizedesjegyre! Szóval mit tudunk és mit nem tudunk? Ezt a kis szöget thétával jelölték. És ez természetesen derékszög. Ez a szög itt a piramis alapjánál, ez lesz a théta pótszöge. Ez 90 fok mínusz théta lesz. És ezt az információt felhasználva azt is beláthatjuk, hogy ez a szög itt fenn szintén théta lesz. Ha ez kicsit meglepőnek tűnik, hadd rajzoljam le külön, és hadd tegyem egy kicsit világosabbá. Van egy háromszögünk, egy derékszögű háromszög, ahol ez a szög itt 90 fok mínusz théta, és ki akarjuk számolni ezt a fenti szöget, legyen ez x. Felírhatjuk, hogy x plusz 90 fok mínusz théta plusz 90 fok egyenlő lesz ‒ nos, az összeg, egy háromszög szögeinek összege 180 fok lesz. Ha kivonunk mindkét oldalból 180 fokot, balról is, jobbról is 180 fokot, azt kapuk, hogy x mínusz théta egyenlő nulla. Vagy ha mindkét oldalhoz hozzáadsz thétát, akkor x egyenlő théta. Tehát ez a fenti szög is théta lesz. És mit tudunk még? Tudjuk, hogy ez 72. Tudjuk, hogy ez az egész 180. Tehát ez 72, és az az egész 180. Ennek az élnek ez a része a víz alatt, ez a távolság itt, hadd rajzoljam be úgy, hogy az ábra ne legyen túl zsúfolt, feketével csinálom, ez a távolság itt 108 lesz. 108 plusz 72 egyenlő 180. Mire jó ez nekünk? Ki kell számolnunk ezt a magasságot. Tudjuk, hogy ez itt egy derékszögű háromszög. Kiszínezhetném, hogy egy kicsit érthetőbb legyen.. Ez a sárga itt egy derékszögű háromszög. Ha ezt a derékszögű háromszöget vizsgáljuk, és meg akarjuk határozni a h-t a théta szög szögfüggvényeinek a felhasználásával, tudjuk, hogy thétához viszonyítva a h hosszúságú oldal a szög melletti befogó, és ez a 108 hosszúságú oldal, ez az átfogó ebben a derékszögű háromszögben, amit sárgával kiemeltem. Tehát melyik szögfüggvény tartalmazza a szög melletti befogót és az átfogót? Írjuk csak fel a szisza-koma-taszem-et! A szinusz a szemközti per az átfogó, ez a távolság per az átfogó lenne. A koszinusz a szög melletti befogó per az átfogó. Tehát koszinusz théta egyenlő lesz a keresett magasság, ez a szög melletti befogó, per az átfogó, per 108. Nos, ez még nem segít nekünk, mert nem tudjuk koszinusz thétát. A megoldás kulcsa az, hogy itt felül is itt csücsül a théta. Tehát ha ki tudjuk találni ez alapján koszinusz thétát, akkor ki tudjuk számolni h-t. Ha ezeket az adatokat nézzük, mennyi a koszinusz théta? Most egy másik derékszögű háromszöget vizsgálunk. Ezt nézzük most, a teljes derékszögű háromszöget. Ebben a derékszögű háromszögben mi a koszinusz théta? Koszinusz théta, még egyszer, a szög melletti befogó per az átfogó. A szög melletti befogó ez a távolság itt. Már tudjuk, hogy ez 139 méter. Tehát ez 139 méter lesz. Milyen hosszú az átfogó? Az átfogó ez a hosszúság itt, 72 plusz 108. Ó, már be van jelölve, ez 180. Feltételezhetjük, hogy ez egyenlő szárú ‒ ez a piramis egy egyenlő szárú háromszög, tehát ez az oldala 180 és ez az oldal is 180. A koszinusz a szög melletti befogó ‒ 139 ‒ per az átfogó, ami 180, vagyis per 180. És ezek az adatok megegyeznek egymással. Most mutattuk meg. Tehát koszinusz théta egyenlő h per 108, és koszinusz théta egyenlő 139/180. Vagy mondhatjuk, hogy h/108, ami a théta koszinusza, egyenlő 139/180-dal. Mindkettő egyenlő koszinusz thétával. Most pedig h kiszámításához mindkét oldalt szorozzuk meg 108-cal! Tehát h egyenlő 139-szer 108/180. Vegyük elő a számológépünket és számoljuk ki! Tehát 139 szorozva 108-cal, osztva 180-nal, 83,4 métert kapunk. Tehát h egyenlő 83,4 méterrel. A víz magassága 83,4.