If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

A derékszögű háromszögekben az oldalak aránya a szögektől függ

 A hasonlóság miatt a derékszögű háromszögekben az oldalak arányai a háromszögek szögeire jellemző mennyiségek.
Amikor az egybevágóságról tanultunk, azt mondtuk, hogy ha ismerünk egy oldalt és a rajta fekvő két szöget (szög-oldal-szög egybevágóság), akkor ez elegendő ahhoz, hogy az összes többi megfelelő oldalpár és szög is megegyező legyen.
Hogyan lehetséges ez? Még a Pitagorasz-tételnél is szükségünk van két oldalra ahhoz, hogy kiszámoljuk a harmadikat. Ebben a leckében megtesszük az első lépéseket ahhoz, hogy megértsük, milyen információt nyújt számunkra a szögek nagysága és az oldalak hossza a derékszögű háromszögek speciális esetében.
Nagyszerű lehetőség ez arra, hogy egy vagy két társaddal együtt dolgozzatok. A lecke célja szabályszerűségeket találni és megbeszélni azokat, nem pedig számolással tölteni az időt. Próbáljátok több részletben csinálni, hogy több idő maradjon megbeszélni azt, amit megtapasztaltatok!

Keressünk szabályszerűségeket!

Először is begyűjtünk adatokat néhány háromszögről.
Hogyan viszonyul egymáshoz a négy háromszög?
Valamennyi háromszög
a(z)
miatt.

Mérettáblázat
Itt vannak ismét a háromszögeink.
Töltsd ki értékekkel a táblázatot az A, angle-re vonatkoztatva!
A, B, C, triangleA, D, E, triangleA, F, G, triangleA, H, I, triangle
Szemközti befogó691215
Szög melletti befogó8
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
16
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Átfogó1015
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
25
A szög37, degree37, degree37, degree37, degree
Derékszög90, degree90, degree90, degree90, degree
Harmadik szög
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree

Most elkezdhetünk szabályszerűségeket keresni az adatok között.
Hányadosok táblázata
Töltsd ki a hányadosok táblázatát!
Kerekíts századra!
A, B, C, triangleA, D, E, triangleA, F, G, triangleA, H, I, triangle
start fraction, start text, s, z, o, with, \", on top, g, space, m, e, l, l, e, t, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, space, h, o, s, s, z, a, end text, divided by, start text, a, with, \', on top, t, f, o, g, o, with, \', on top, space, h, o, s, s, z, a, end text, end fraction
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start fraction, start text, s, z, e, m, k, o, with, \", on top, z, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, space, h, o, s, s, z, a, end text, divided by, start text, a, with, \', on top, t, f, o, g, o, with, \', on top, space, h, o, s, s, z, a, end text, end fraction
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start fraction, start text, s, z, e, m, k, o, with, \", on top, z, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, space, h, o, s, s, z, a, end text, divided by, start text, s, z, o, with, \", on top, g, space, m, e, l, l, e, t, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, space, h, o, s, s, z, a, end text, end fraction
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Mit figyeltél meg?

Annak bizonyítása, hogy a séma más szögekre is igaz

Bizonyítás
A bizonyítás befejezéséhez igazoljuk, hogy start fraction, A, C, divided by, B, C, end fraction, equals, start fraction, F, D, divided by, E, D, end fraction.
ÁllításIndoklás
1A, angle, \cong, F, angleMinden derékszög egyenlő.
2B, angle, \cong, E, angleAdott
3A, B, C, triangle, \sim, triangle
hasonlóság
4start fraction, A, C, divided by, F, D, end fraction, equals, start fraction, B, C, divided by, E, D, end fractionHasonló háromszögek megfelelő oldalainak hányadosa megegyezik.
5start fraction, A, C, divided by, B, C, end fraction, equals, start fraction, F, D, divided by, E, D, end fractionMindkét oldalt megszorozzuk
-vel.

A bizonyítás eredménye
Mit bizonyítottunk be?
Válassz egyet:
Válassz egyet:
Milyen háromszögekre bizonyítottuk be?
Válassz egyet:
Válassz egyet:

Milyen következtetésre jutottunk?

Ha két derékszögű háromszögnek van egy-egy ugyanakkora hegyesszöge, akkor a két háromszög hasonló a szög-szög hasonlósági alapeset alapján. A háromszögeken belül a megfelelő oldalak hosszának hányadosa meg fog egyezni. Így egy derékszögű háromszög oldalainak hányadosa az egyik hegyesszög nagyságától függ.

Miért lesz ez hasznos számunkra?

Korábban a Pitagorasz-tételt használhattuk egy derékszögű háromszög ismeretlen oldalának kiszámításához, ha ismertük a másik két oldal hosszát. Most már össze tudjuk kapcsolni a derékszögű háromszög szögeit és az oldalak hosszát. Ezzel lehetőségünk nyílik két ismeretlen oldal hosszának meghatározására is, ha csak egy oldalt és egy hegyesszöget ismerünk. Sőt, a derékszögű háromszög hegyesszögeit is meg tudjuk határozni bármely két oldalának ismeretében.
1.1 Kiegészítés
Ha ismerjük egy derékszögű háromszög egyik hegyesszögét, meg tudjuk mondani, mi a szöghez tartozó oldalak hányadosa.
Az alábbi táblázatban láthatóak a 25, degree, 35, degree és 45, degree-os szögekhez tartozó körülbelüli hányadosok.
Szög25, degree35, degree45, degree
start fraction, start text, s, z, o, with, \", on top, g, space, m, e, l, l, e, t, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, space, h, o, s, s, z, a, end text, divided by, start text, a, with, \', on top, t, f, o, g, o, with, \', on top, space, h, o, s, s, z, a, end text, end fraction0, comma, 910, comma, 820, comma, 71
start fraction, start text, s, z, e, m, k, o, with, \", on top, z, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, space, h, o, s, s, z, a, end text, divided by, start text, a, with, \', on top, t, f, o, g, o, with, \', on top, space, h, o, s, s, z, a, end text, end fraction0, comma, 420, comma, 570, comma, 71
start fraction, start text, s, z, e, m, k, o, with, \", on top, z, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, space, h, o, s, s, z, a, end text, divided by, start text, s, z, o, with, \", on top, g, space, m, e, l, l, e, t, t, i, space, b, e, f, o, g, o, with, \', on top, space, h, o, s, s, z, a, end text, end fraction0, comma, 470, comma, 71
A táblázat segítségével becsüld meg a J, angle-et az alábbi háromszögben!
Válassz egyet:
Válassz egyet: