Szinuszoid függvény meghatározása grafikon alapján

Írd fel az alább ábrázolt f(x) függvény egyenletét! A függvényünk nyilvánvalóan periodikus, így azonnal mondhatjuk, hogy ez egy szinusz vagy koszinusz függvény lesz. De a középvonala és az amplitúdója nem az alap szinuszra és koszinuszra jellemző. Ezt itt láthatjuk is. A középvonal a maximum és a minimum érték átlagánál van. A maximumban y egyenlő 1, a minimumban pedig y egyenlő -5. Félúton a kettő között, az 1 és a -5 átlaga pedig 1 plusz -5 egyenlő -4, ami pedig 2-vel osztva -2, azaz itt van a középvonal, nem más, mint y egyenlő -2. A függvény láthatóan el van tolva lefelé. Mindjárt el is mondom, hogy a kifejezés milyen alakot vehet fel. De nézzük meg az amplitúdót is! Az amplitúdó megmondja, hogy milyen távol kerülhetünk a középvonaltól. Itt látjuk, hogy 3-mal ment a középvonal fölé, -2-től 1-ig, azaz 3-mal ment a középvonal fölé a maximumnál. És szintén 3-mal megy a középvonal alá a minimumnál. Tehát az amplitúdó nyilvánvalóan 3. Ebből rögtön látjuk, hogy a függvény alakja valami ilyesmi lesz: f(x) egyenlő az amplitúdószor, azaz 3-szor... – még nem tudjuk, hogy koszinusz, vagy szinusz függvénnyel van -e dolgunk, először koszinuszt írok – koszinusz (valamilyen k együttható szorozva x), plusz a középvonal, amiről már tudjuk, hogy -2. Tehát lehet ilyen alakú, vagy pedig f(x) egyenlő 3-szor szinusz x, vagy inkább szinusz (k együttható szorozva x-szel) plusz a középvonal, azaz -2. És honnan tudjuk, hogy melyik a kettő közül? Nézzük meg a függvény viselkedését a nullánál! Amikor x egyenlő 0, k-szor x, azaz a koszinusz argumentuma is nulla, koszinusz nulla pedig 1 lesz, fokban és radiánban is, koszinusz nulla =1. Ugyanígy az x egyenlő 0 helyen k-szor x is 0, és a szinusz 0 egyenlő 0. Tehát hogy néz ki a függvényünk, ha x egyenlő 0? Nos, ha x egyenlő nulla, akkor a középvonalon vagyunk, ami azt jelenti, hogy ez az egész kifejezés nullával egyenlő. Emiatt ki is húzhatjuk a koszinuszt, mert ha x egyenlő 0-val itt, ez a kifejezés nem 0-val lenne egyenlő. Ezt tehát ki is húzhatjuk, így csak ez marad. Már csak azt kell kitalálnunk, hogy mi lehet ez a konstans? Ehhez vessünk egy pillantást a függvény periódusára! Lássuk csak! Ha ettől a ponttól indulunk – ahol metsszük a középvonalat, és pozitív meredekségű a görbe –, akkor a következő ilyen pont itt lesz, tehát a periódusunk 8. Mi legyen az együtthatónk ahhoz, hogy a függvény periódusa 8 legyen? Emlékeztetőül, nézzük meg, mi a szinusz függvény periódusa! Szinusz x periódusa – le is írom, hogy periódus – nem más, mint 2π. Ha 2π radiánnal növeled vagy csökkented a szögedet, az egységkör ugyanazon pontjához érsz. De mi lesz a szinusz k-szor x periódusa? A változó k-szor gyorsabban növekszik, ugyanahhoz a ponthoz k-szor gyorsabban jutunk el, így a periódus k-ad részére csökken, tehát a periódus 2π per k-val egyenlő. Figyeld meg, ahogy x növekszik, az argumentum k-szor gyorsabban növekszik, k-val szorzunk, a periódus pedig rövidül, hamarabb elérünk az egységkör ugyanazon pontjára. Gondolkodjunk tehát eszerint! Ha tudjuk, hogy 2π per k egyenlő 8-cal, akkor mivel egyenlő k? Vehetjük mindkét oldal reciprokát, így k per 2π egyenlő 1/8. Szorozzuk meg mindkét oldalt 2π-vel! Azt kapjuk, hogy k egyenlő – ez itt 1, ez itt 4 –, k egyenlő π per 4. És végeztünk is. Ellenőrzésképpen, be is helyettesíthetsz néhány pontot az egyenletbe. Megnézheted, hogy ez a függvény egyenlő-e 3-szor szinusz π/4 mínusz 2-vel.