If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:10:12

Videóátirat

Ebben a videóban szeretném, ha megismerkednél kicsit a tangens théta grafikonjával. Ehhez készítek egy kis egységkört, ennek segítségével ábrázolhatjuk a tangens értékét különféle thétákra. Ez az y tengely és ez az x tengely. Ez az x tengelyem, és az egységkör valahogy így néz ki. Ezt már tudjuk, csak átismételjük a szögfüggvények egységkörös definícióját, ami úgy szól, hogy ha van egy théta szögem, aminek az egyik szára a pozitív x tengely, míg a másik szára, tehát ez a másik szára, tehát a szög így fest, akkor ahol ez a sugár metszi az egységkört, ennek az x és y koordinátái adják a théta szinuszát, bocsánat, az x koordináta a théta koszinusza, ez a koszinusz théta, szinusz théta. Az x koordináta koszinusz théta, az y koordináta szinusz théta. De minket a tangens théta érdekel. Tudjuk, hogy a tangens théta egyenlő a szinusz théta osztva a koszinusz thétával. Ha az origóból indulsz, és veszed az y koordináta értékét, az y koordináta osztva x koordinátával, az lényegében ennek a vonalnak a meredeksége. Ez itt az y változása per az x változása lesz Ez itt a meredeksége ennek a sugárnak itt. Ez segít szemléltetni, mi a tangens különböző thétákra. Hadd tegyek rendet kicsit az egységkörön! Rendben, meg is vagyunk. Készítsünk egy táblázatot! Különböző théták esetében gondolkodjunk el azon, mi lesz a théta tangense. Talán az a legegyszerűbb, ha a théta nulla radián, tehát ha nulla radián, mi ennek a sugárnak a meredeksége? A sugár meredeksége nulla. Az x változik, de az y egyáltalán nem változik. Most gondolkodjunk el azon, hogy milyen értékekre könnyű kitalálni az érték tangensét, ezek segítenek nekünk abban, hogy ki tudjuk találni, milyen a grafikon alakja, hogy mennyi az y, ami a théta tangense. Vegyük a π per 4 radiánt! Ez itt van, itt théta egyenlő π per 4-gyel. Miért érdekes ez? Néha egyszerűbb, ha fokokban gondolkozunk. Ez egy 45 fokos szög. Itt az x koordináta és az y koordináta ugyanaz. Talán emlékszel arra, hogy ez négyzetgyök kettő per kettő. De ami fontos, hogy bármennyit is mozogsz az x irányba, az y irányba ugyanannyit mozogsz. Tehát ennek a sugárnak a meredeksége itt egy. Másképpen mondva a théta tangense egyenlő eggyel. Vagy a théta szinusza per théta koszinusza egyenlő, így ez egy. Hadd tegyek kicsit rendet, mert ismét ezt az egységkört fogom használni. Tehát ha a théta az π per négy, akkor a tangens théta az egy. Mi van olyankor, ha a théta egyenlő mínusz π per néggyel? Ez itt van. Hadd rajzoljak ide egy kis háromszöget! Ez az x-koordináta itt, kettő négyzetgyöke per kettő (ezt már tudjuk). Láttuk azt már párszor, hogy ez négyzetgyök kettő per kettő. Kicsit máshogy címkézem. Tehát a théta egyenlő mínusz π per négy radián. Vagy ha szeretnél fokokban gondolkodni, ez mínusz 45 fok. És ennek a szögnek a szinusza és koszinusza egymás ellentettjei lesznek. A koszinusz az négyzetgyök kettő per kettő. A metszéspont x koordinátája az négyzetgyök kettő per kettő. Az y koordináta itt mínusz gyök kettő per kettő. Vajon mi a tangens? Az a szinusz per koszinusz, ami láthatod, hogy mínusz 1. Bármennyit is mozdulunk el az x irányba, annak a mínusz egyszeresét mozdulunk el az y irányba. Kicsit letakarítom, mert ismét ugyanezt az egységkört fogom használni. Rendben is vagyunk. Tehát ez mínusz egy lesz. Kezdjük is el ábrázolni ezt a néhány pontot! Ha ez a théta tengely, és ez az y-tengely, akkor rögtön láthatjuk, hogy a tangens nulla az nulla. A tangens π per négy (radiánban gondolkodva) az egy. A tangens mínusz π per négy (radiánban gondolkodva) az mínusz egy. Gondoljuk csak át! Talán ezt látva azt mondanád, hogy „Ó, ez talán egyfajta egyenes” de nagyon világosan látni fogjuk, hogy ez nem egy egyenes, mert ahogy a szögünk egyre közelebb és közelebb kerül a π per kettőhöz, mi történik ennek a vonalnak a meredekségével? Ez itt théta. Ahogy közelebb és közelebb vagyunk a π per kettőhöz, ez a sugár közelebb és közelebb kerül a függőlegeshez, ezért a meredeksége egyre nagyobb lesz, és ha elérnénk a π per kettőhöz, a meredekség azon a ponton nem meghatározott, egyre inkább a végtelen felé tart. Tehát ahogy közelebb és közelebb kerülsz a π per kettőhöz, – ehhez berajzolom a függőleges aszimptotát a π per kettőhöz – azt hiszem, egy módon gondolhatnánk erre, mégpedig úgy, hogy itt közeledik a végtelenhez, valahogy így fog kinézni. Ahogy egyre közelebb kerülsz a π per kettőhöz, a sugár meredeksége egyre inkább közelít a végtelenhez. Mi történik, ha a szög egyre közelebb és közelebb kerül a mínusz π per kettőhöz? Nos, akkor a meredekség egyre negatívabb lesz, a mínusz végtelenhez közeledik. Hadd rajzoljam le! Még egyszer, itt nincs pontosan meghatározva, de van egy függőleges aszimptotánk, és közelítünk a mínusz végtelenhez. Így néz ki a tangens théta grafikonja ezen a szakaszon. De tovább is folytathatnánk. Ha ugyanis átlépjük a π per kettőt, vagyis áthaladunk rajta, akkor mi lesz a meredekség? Mi a meredeksége ennek? A meredekség itt nagyon negatív, úgy néz ki, mint amit ide lent rajzoltam, rendkívül negatív. Tehát a grafikon visszaugrik ide, és ez ismét nagyon negatív. És ahogy növeljük a thétát, egyre kevésbé és kevésbé lesz negatív egészen addig, amíg el nem érünk... hadd mutassam meg ezt a szöget itt! Mi ez a szög? Ezt még nem mondtam el. Ez a szög itt 3π per négy. Miért választottam most a három π per négyet? Mert ez π per kettő meg π per négy. Vagy úgy is mondhatjuk, hogy két π per négy plusz egy másik π per négy, ami három π per négy. És ez azért érdekes, mert ez egy másik háromszöget alkot, a π/4 - π/4 - π/2 háromszöget, vagy 45-45-90 háromszöget, ahol az x és y koordináták, vagy x és y távolság ugyanakkora nagyságúak. De most az x lesz negatív és az y pozitív. Tehát ez lesz itt a meredekség, ugyanaz a meredekség, mint ami mínusz π per négy radiánnál volt. Tehát itt a meredekség mínusz 1. Három π per négynél a meredekség mínusz egy. Majd növeljük a szöget egészen π-ig, ahol a meredekség visszaáll nullára. És aztán, amikor túljutunk ezen, ahogy növeljük még egy π/4-gyel, a meredekség ismét plusz egy lesz. És ismét, ahogy közeledünk a három π/2-höz, a meredekség egyre pozitívabb lesz, közelít a plusz végtelenhez. Ha egy kicsit mész x irányba, akkor ez a meredekség sokkal nagyobb mértékben növekszik az y irányba. Most a grafikon így fog kinézni. Hadd használjak másik színt erre, hogy jól lásd! A grafikon valahogy így halad, és ugyanez folytatódik. Ismétlődik π radiánonként. Iderajzolom ezt a szaggatott vonalat minden π radiánhoz újra és újra. Visszamegyek, és iderajzolom ezeket az aszimptotákat. Ide és ide rajzolom. Tehát a tangens théta grafikonja valahogy így fog kinézni. Nyilvánvalóan periodikus, folytathatnánk tovább és tovább mindkét irányban.