Az y=sin(x) és az y=cos(x) függvények metszéspontjai

Az a kérdés, hogy hány helyen metszi egymást a szinusz théta és a koszinusz théta grafikonja, ha théta 0 és 2π (pi) között van. Mégpedig úgy, hogy théta nagyobb vagy egyenlő 0, és kisebb vagy egyenlő 2π, vagyis beleértjük a nullát és a 2π-t is a lehetséges théta értékekbe. Készítettem egy kis táblázatot a koszinusz thétának és a szinusz thétának, amit az egységkörrel együtt arra használhatunk, hogy remélhetőleg gyorsan ábrázoljuk az y egyenlő szinusz thétát és az y egyenlő koszinusz thétát Ezután pedig elgondolkodhatunk, hogy hány helyen metszik egymást, és konkrétan hol metszik egymást. Kezdjük is el! Először is tisztázzuk azt, hogy ez egy egységkör. Ez az x tengely, ez pedig az y tengely. Itt pedig ábrázoljuk ezt a két grafikont. Tehát ez az y tengely, ez nem x, hanem théta függvénye lesz, vagyis théta a vízszintes tengely. Először gondoljuk át, hogy mi történik akkor, ha a théta értéke nulla. Amikor a théta értéke nulla, az ez a pont itt. Hadd rajzoljam ezt másik színnel! Az egységkörnek ezen a pontján vagyunk, mik ennek a koordinátái? Ez a pont az egy, nulla vagyis (1;0). Ez alapján mennyi a koszinusz théta értéke akkor, ha théta nulla? A koszinusz théta egy, a szinusz théta pedig nulla. Ez az egységkörrel való metszéspont x koordinátája, ez pedig az y koordinátája. Menjünk is tovább! Mi a helyzet a π per kettőnél? A π per kettő itt van. Mik a koordináták? Az x nulla, az y pedig egy. Ez alapján a koszinusz théta 0, és mennyi a szinusz théta? Az pedig egy, ennek a pontnak az y koordinátája. Menjünk tovább a π-re! Az egységkörön, ezen a ponton vagyunk. Mik a koordinátái? Ez itt mínusz egy és nulla. Tehát mi lesz a koszinusz théta? Az x koordináta, ami mínusz egy. A szinusz théta pedig az y koordináta, ami nulla. Folytassuk! Most már itt lent vagyunk a 3π per kettőnél. Ha végighaladunk a 3π per kettőig, akkor mik lesznek itt a koordináták? Ez itt nulla és mínusz egy (0;-1). A koszinusz théta az x koordináta, vagyis a koszinusz théta 0, és mi lesz vajon a szinusz théta? Mínusz 1. És végül visszajutunk a 2π-hez, vagyis teljesen körbeértünk, visszaértünk ehhez a ponthoz. Tehát itt ugyanazok a koordináták, mint amikor a nulla radiánnál voltunk. Mi lesz tehát a koszinusz és a szinusz théta? Ez itt egy, a szinusz théta pedig nulla. És ez alapján készíthetünk egy körülbelüli rajzot, ami mutatni fogja, hol lehetnek a metszéspontok. Kezdjük a koszinusz thétával! Ha théta nulla... hadd jelöljem ezt meg... Itt y értéke egy, és itt lesz y értéke mínusz egy. Tehát az y egyenlő koszinusz thétát ábrázoljuk most. Ha théta nulla, akkor a koszinusz théta egy. Ha a théta π per kettő, akkor a koszinusz théta nulla. Ha a théta értéke π, a koszinusz théta mínusz 1. Ha théta három π per kettő, akkor a koszinusz théta nulla. Ez itt van. Végül, ha a théta 2π, akkor a koszinusz théta ismét egy. A görbe pedig körülbelül így néz ki. Ez a legjobb próbálkozásom a lerajzolására. Próbáltam szép, sima görbét rajzolni. Ennek a görbének ismerősnek kellene lennie. Tehát ez az y egyenlő koszinusz théta görbéje. Készítsük el a szinusz théta grafikonját is! Ha théta értéke nulla, akkor szinusz théta nulla. Ha théta π per kettő, a szinusz théta egy. Ha théta π, akkor a szinusz théta nulla. Ha théta 3π per kettő, akkor a szinusz théta mínusz 1. Ha théta 2π, akkor a szinusz théta nulla. A szinusz grafikonja pedig valahogy így néz ki, vagy legalábbis ez a legjobb próbálkozásom lerajzolni. Gondolkozzunk el vizuálisan a kérdésen! Hány pontban fogja metszeni egymást az y egyenlő szinusz théta és az y egyenlő koszinusz théta függvény ebben az intervallumban, ahol a théta nulla és 2π közé esik úgy, hogy a két végpontot is beleértjük? Nézzünk rá erre a grafikonra, láthatjuk, hogy két metszéspont van: ez a pont itt, és ez a pont itt, ezek a metszéspontok nulla és 2π között. Ezek periodikus grafikonok, ha folytatnánk a rajzolást, akkor többször metszenék egymást, de ezen a 2π hosszúságú intervallumon ez a két metszéspont van. Gondoljuk át, mik ezek a pontok! Nagyon úgy fest, hogy ezek pontosan a nulla és a π per kettő közé, illetve pont a π és a 3 π per kettő közé esnek. Használjuk az egységkörünket arra, hogy rájöjjünk, mik ezek az értékek. Úgy tűnik, hogy ez itt π per 4. Ellenőrizzük! Gondoljuk át, mik ezek az értékek a π per négynél. A π per négy ez a szög, aminek ez a szára. A π per 4 radián az ugyanaz, mint a 45 fok. Írjuk ide a π per 4-et. Tehát itt arra kell rájönnünk, hogy mi ez a pont, mik ennek a pontnak a koordinátái. Ez itt egy derékszögű háromszög. Mit tudunk erről a derékszögű háromszögről? Iderajzolom inkább, hogy érthetőbb legyen. Ez egy elég gyakran előforduló derékszögű háromszög, ezért jó, ha közelebbről megismerkedsz vele. Igyekszem szépen lerajzolni. Tehát ez egy derékszögű háromszög, és tudjuk, hogy ez 45 fok. Milyen hosszú az átfogó? Ez egy egységkör, aminek egy a sugara, tehát az átfogó hossza egy. És mit tudunk erről a szögről itt? Azt, hogy ennek 45 foknak kell lennie, mert a háromszög szögeinek összege 180 fok. És mivel ez a két szög ugyanakkora, tudjuk, hogy ez a két oldal ugyanolyan hosszú. És használhatjuk a Pitagorasz tételt ahhoz, hogy kiszámoljuk ezeknek az oldalaknak a hosszát. A Pitagorasz tételt használva, ha tudjuk, hogy ez a két oldal egyenlő, mekkora lesz ezeknek az oldalaknak a hossza? Legyen ez a hossz mondjuk 'a', és ez is 'a', és használva a Pitagorasz tételt azt mondhatjuk, hogy 'a' a négyzeten plusz 'a' a négyzeten egyenlő az átfogó négyzetével, ami egy. Vagyis kétszer 'a' négyzet egyenlő egy. Tehát 'a' négyzet az 1/2. Vegyük mindkét oldal négyzetgyökét, így megkapjuk, hogy az 'a' értéke négyzetgyök 1/2, ami 1 per négyzetgyök 2. A nevezőt gyökteleníthetjük úgy, hogy beszorzunk négyzetgyök 2 per négyzetgyök 2-vel, így a számláló négyzetgyök kettő lesz, a nevező pedig négyzetgyök kettő szorozva négyzetgyök kettővel, ami kettő. Tehát ez a hossz négyzetgyök kettő per kettő, és ennek a hossza is ugyanennyi. Tehát ez a hossz négyzetgyök kettő per kettő, és ez a magasság is négyzetgyök kettő per kettő. Ez alapján mik a koordinátái ennek a pontnak? Ez négyzetgyök kettő per kettő pozitív irányban, tehát az x értéke négyzetgyök kettő per kettő, és y értéke négyzetgyök kettő per kettő felfele, vagyis pozitív függőleges irányban, ez tehát szintén négyzetgyök kettő per kettő. Az x koordináta a koszinusz théta, ami így négyzetgyök kettő per kettő, Az y koordináta a szinusz théta. Láthatod is, hogy ezek valóban egyenlőek ebben a pontban, tehát mindkét koordináta értéke négyzetgyök kettő per kettő. Mi a helyzet ezzel a ponttal, ami úgy látszik, hogy π és 3π per 2 között van? Ez itt π, ez itt 3π per kettő, ez pedig itt van. Tehát ez itt egy másik π per 4 plusz π, az pedig ugyanaz mint 4π per 4 plusz π per 4, vagyis ez a szög 5π per 4. Azt szeretnénk kitalálni, mi az értéke ezeknek a függvényeknek akkor, amikor a théta értéke 5π per 4? Többféleképpen is átgondolhatjuk. Használhatunk geometriát, és mondhatjuk azt, hogy ez itt egy 45 fokos szög, és ez itt szintén egy 45 fokos szög. A referenciaszög fokban kifejezve 45 fok. Nagyon hasonlóan tudunk gondolkozni. Lerajzolhatjuk a derékszögű háromszöget, aminél tudjuk, hogy az átfogó egy. Tudjuk, hogy ez derékszög, ez pedig 45 fok. Ha ez 45 fok, akkor ez is 45 fok, és egy nagyon hasonló háromszöget kaptunk. Ezek valójában egybevágó háromszögek. Az átfogó egy, 45-45-90 fokosak a szögek, ebből tudjuk, hogy ennek a hossza négyzetgyök kettő per kettő, és ez az oldal is négyzetgyök kettő per kettő, a korábban használt logika alapján. Ez alapján mik a koordinátái ennek a pontnak? Nézzük először az x koordinátát! Ez négyzetgyök kettő per kettő negatív irányban. Négyzetgyök kettő per kettő az értéke az origótól balra, tehát ez mínusz négyzetgyök kettő per kettő. Mi a helyzet az y koordinátával? Az origótól lefelé megyünk négyzetgyök kettő per kettőt, tehát ez szintén mínusz négyzetgyök kettő per kettő. Tehát a szinusz théta és koszinusz théta is mínusz négyzetgyök kettő per kettő. Tehát látjuk, hogy valóban megegyezik a koszinusz thétának és szinusz thétának az értéke ebben a pontban. Mind a kettő értéke mínusz négyzetgyök kettő per kettő.