If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:10:51

Videóátirat

Mostanra valószínűleg megszoktad, hogy a szögeket fokban mérjük. Ezt használjuk a hétköznapi beszédben. Átnéztünk már jó néhány példát, hogy ha van egy ilyen szöged, hívhatod 30 fokos szögnek. Ha egy ilyen szöged van, ezt 90 fokos szögnek nevezheted, és gyakran így jelöljük. Ha 180 fokban kellene haladnod, az lényegében egy egyenes vonalat jelent. (Hadd csináljak belőlük szabályos szögeket!) 360 fok esetén egy teljes fordulatot csinálsz. Ha az olimpián megfigyeled a korcsolyázókat, és valaki csinál egy teljes fordulatot, akkor az valóban 360 fok, vagy egy gördeszkás vagy más hasonló versenyen. De egyet fontos megérteni ‒ és lehet, hogy ez nem magától értetődő már az elejétől ‒, hogy a fok fogalma ember alkotta rendszer, nem ez az egyetlen módja a szögek mérésének. És ha belegondolsz, megkérdezheted, miért hívjuk a teljes körbefordulást 360 foknak? Van néhány lehetséges magyarázat erre, javaslom, hogy gondolkodj el ezeken. Vajon miért jelenti a 360 fok a mi kultúránkban a teljes fordulatot? Nos, van néhány magyarázat erre. Az egyik az ókori naptárak. A mai naptárunk is közel jár ehhez, de az ókori naptárak a 360 napból álló éven alapultak. Ókori csillagászok megfigyelték, hogy a dolgok az égen az égbolt 360-ad részével mozdulnak el naponta. Egy másik elmélet szerint a babilóniaiak rendkívül kedvelték az egyenlő oldalú háromszögeket, és 60-as számrendszerük volt, 60 volt az alapja. Nekünk csak 10-es van, tízes alapú számrendszer, nekik 60-as volt. A mi rendszerünkben szeretjük tizedekre osztani a dolgokat, ők valószínűleg 60-adokra szerették. Tehát ha van egy köröd, és ezt felosztod hat egyenlő oldalú háromszögre, és az egyenlő oldalú háromszögek mindegyikét 60 részre, mivel 60-as alapú számrendszered van, akkor megkaphatod a 360 fokot. Amiről beszélni akarok ebben a videóban, az a szögek mérésének egy másik módja. És ez a másféle mód ‒ még ha nem is érzed úgy az elején ‒ matematikailag sokkal tisztább, mint a fokok. Nem alapszik a 60-as számrendszer kulturális képződményén, vagy csillagászati megfigyeléseken. Egy földönkívüli egy másik bolygón nem használna fokokat, különösen, ha ezek valami csillagászati jelenségen alapulnának. Inkább valami olyasmit használnának, amit radiánnak fogunk nevezni. Van ebben valamilyen fokú tisztaság ‒ radián. Vágjunk bele, és definiáljuk, mi is az a radián! Rajzoljunk egy kört, a legjobb tudásom szerint rajzolok egy kört, nem is rossz. Megrajzolom a kör középpontját, és hadd rajzoljam meg ezt a sugarat, más néven rádiuszt. Mondjuk, hogy ez a rádiusz ‒ talán már feltűnt neked, hogy a rádiusz és radián szavak nagyon hasonlóak, és ez nem véletlenül van így. Legyen ennek a körnek a sugara r hosszúságú! Rajzoljunk egy szöget, nevezzük thétának, szóval rajzoljunk egy théta szöget! És mondjuk azt, hogy ez a szög pontos érték. Hogyha ránézel arra a körívre, ami a szöghöz tartozik – de hadd rajzoljam le a szöget! Ha akkora szöget rajzolunk, hogy ha ránézünk a körívre, amely a szöghöz tartozik, ‒ erről a körívről beszélünk, amelyet a szög két szára kimetsz, szóval ez a körív a théta szöghöz tartozik, le is írom. Theta szöghöz tartozó körív. Képzeljük el, hogy a théta pontosan akkora, hogy ennek az ívnek a hossza megegyezik a kör sugarával, vagyis ez a körív is r hosszúságú. Na mármost, ha egy újfajta szögmértéket akarunk definiálni, amelyet radiánnak fogunk hívni (ami ugye hasonlít a rádiuszhoz), hogyan határoznád meg, hogy hány radián legyen ennek a szögnek az értéke? Nos, a legkézenfekvőbb válasz az lenne, ha a radiánt egyenlőnek tekintenénk a rádiusszal. Ez egy 1 rádiusz hosszúságú ívhez tartozik, szóval miért is ne hívhatnánk ezt 1 radiánnak? És pontosan ez az, ahogyan a radiánt definiáljuk. Ha van egy körünk és egy 1 radián méretű szögünk, akkor az ív, ami a szöghöz tartozik, pontosan 1 rádiusz hosszú. Elképzelheted, hogy ez elég hasznos lesz, amikor különféle típusú köröket használunk majd. Amikor fokokkal dolgozunk, többet kell számolnunk a kör kerületével és hasonlókkal, hogy kiszámoljuk, a sugár hányszorosa a szöghöz tartozó körív. Itt a szög radiánban kifejezve pontosan megadja az ív hosszát, amely a szöghöz tartozik. Csináljunk most néhány gondolatkísérletet! Mekkora lenne a szög radiánban, ha ‒ hadd rajzoljak ide egy másik kört! Ez a közepe, itt kezdünk, mi lenne, ha ezt a szöget radiánban akarnám kifejezni? Lényegében úgy vehetjük, hogy rádiuszokban. Mekkora lenne ez a szög? Egy teljes fordulat esetén ez ugye 360 fok lenne fokban, a definíció alapján mennyi lenne ez radiánban? Nézzük az ívet, amely a szöghöz tartozik, ez a teljes kerülete ennek a körnek. Nos, mekkora a kör kerülete rádiuszban kifejezve? Ez itt r hosszú, a sugár hossza r, mekkora a körkerület r-rel kifejezve? Nos, ezt tudjuk, 2π r (2 pi-szer r) Visszatérve ehhez a szöghöz, mekkora tehát a hozzá tartozó ív rádiuszban kifejezve? Hát 2 π rádiusz, 2 π-szer r. Ez a szög, nevezzük mondjuk x-nek, x ebben az esetben 2 π radián, amelyhez egy 2 π rádiusz ívhossz tartozik. Ha a rádiusz egy egységnyi, ez 2 π szorozva 1, azaz 2 π rádiusz. Nézzük akkor meg, hogyan tudjuk átváltani a radiánt fokba vagy fordítva. Ha, visszatérve ehhez az ábrához, csinálunk egy teljes fordulatot, azaz 2 π radiánt, mekkora lesz ez fokokban? De hiszen ezt már tudjuk, egy teljes körfordulat 360 fok. Vagy kiírjuk a szót, hogy fok, vagy csak ezt a kis jelölést használjuk, ezúttal hadd írjam ki, hogy fok. Talán egyszerűbb, ha mindkét oldalon mértékegységeket használunk. Ha ezt egyszerűsíteni akarjuk, mindkét oldalt eloszthatjuk 2-vel, így a bal oldalon π radiánt kapunk, ami hány fokkal egyenlő? 180 fokkal, ugye? Amit így is és emígy is írhatok. Láthatod, hogy ez itt 180 fok, és ha egy teljes kört rajzolunk ide, akkor ez itt a fele a körnek, így az ív hossza, ami a szöghöz tartozik, a kör kerületének a fele. A kerület fele pedig π-szer a rádiusz, ezt hívjuk π radiánnak. π radián 180 fok. És innentől kezdve át tudjuk váltani. Akkor egy radián hány fok lesz? Ehhez mindkét oldalt elosztjuk π-vel, a bal oldalon 1 radián marad, és ez egyenlő ‒ legyen világos, mit is csinálok itt, hogy mutassam, ez nem valami mágia ‒ mindkét oldalt elosztom π-vel a bal oldalon marad 1, és a jobb oldalon 180/π fok, vagyis 1 radián egyenlő 180/π fokkal, ami egy érdekes módja az átváltásnak. Nézzük ezt egy kicsit másképp! Ha van 1 fokom, vajon az hány radián? Hadd írjam le újra... Azt mondtuk, hogy π radián = 180 fok és most az 1 fokot akarjuk meghatározni. Mindkét oldalt eloszthatjuk 180-nal, és azt kapjuk, hogy π/180 radián = 1 fokkal. Ez talán zavarónak vagy ijesztőnek hathat, és nekem is az volt, amikor először találkoztam vele, különösen, mivel a hétköznapi életünkben nem szoktuk használni. De a következő példákban látni fogjuk, hogy amíg észben tartjuk, hogy 2 π radián = 360 fok, vagy hogy π radián = 180 fok – én ezeket tartom észben mindig képesek leszünk velük számolni. Persze mondhatod, hogyan jegyezzem meg, hogy π/180 vagy 180/π kell az átváltáshoz? Nos, csak emlékezz arra, amit remélem, ösztönösen tudni fogsz, hogy 2π radián az 360 fok. A következő videókban pedig egy rakás példán dolgozunk majd, hogy begyakoroljuk az átváltásokat.