Tau kontra pi

Ebben a videóban át akarom ismételni, hogy mit is tudunk a π-ről, és hogyan is mérjük a szöget radiánban. És aztán gondolkodjunk el azon, hogy vajon tényleg a π a legjobb szám, amellyel foglalkoznunk kell. Gondolkodjunk el egy kicsit azon, amit az imént mondtam! π-t úgy definiáltuk – ezúttal hármas egyenlőségjelet fogok használni a definícióra – π-t tehát úgy definiáljuk, mint a kör kerületének és átmérőjének hányadosát, ami ugyanaz, mint a kör kerületének és a sugár kétszeresének a hányadosa. Aztán ebből kapjuk meg az összes érdekes képletet, amit geometriaórán tanulsz, pl. ha adott a sugár, és ki akarod számítani a kerületet, akkor a fenti definíció vagy egyenlőség mindkét oldalát megszorzod a sugár kétszeresével, és azt kapod, hogy 2・r・π egyenlő a kör kerületével, vagy így még ismerősebb: K = 2 r π. Ez egyike az alap dolgoknak, amelyeket tanulmányaid elején megtanulsz, és használod a kerület meghatározására vagy a sugár kiszámítására, ha ismered a kerület hosszát. Innen származik az, ahogy a szögeket radiánban mérjük, amikor elérkezünk a trigonometria tanulásához. Ismétlésként hadd rajzoljak egy kört! (Hadd rajzoljak egy jobbat, ez megfelel.) Itt van a pozitív x tengely, és rajzoljunk ide egy szöget! A szöget elég nyilvánvalóra rajzoltam. Úgy mérjük a szögeket, amikor radiánban akarjuk kifejezni, hogy egy bizonyos ívhosszhoz tartozó szögről beszélünk. És az ív hosszát, legalábbis én úgy szeretek erre gondolni, hogy a szöget radiánban, az ívet magát rádiuszokban (sugárhosszban) mérjük. Így gondolok erre: hány sugárnyi ez az ívhossz, amely a radiánban megadott szöghöz tartozik? Hadd mutassam meg, mire gondolok! Itt ez az ívhossz, ha a sugár r, mekkora ennek az ívnek a hossza? Geometriai alapismereteinkből tudjuk, hogy a teljes kör kerülete 2 π r. A teljes kerület definíció szerint 2 π r. Mekkora akkor ennek az ívnek a hossza? Feltételezem, hogy ez itt a kör negyede. Akkor ennek az ívnek a hossza (2 π r)/4, ami nem más, mint (π/2)r. Úgy is mondhatjuk, hogy π/2 rádiusz vagy π/2 sugárhossz. (Ezek valamelyike ‒ ez a rádiusz nem egy valódi szó, de szeretek így gondolni erre a dologra.) Úgy is fogalmazhatjuk, hogy ehhez az ívhez π/2 radián szög tartozik. És valahányszor radiánban mérsz egy szöget, azt érted alatta, hogy az a szög, amelyhez egy valahány rádiusz/sugár hosszú körív tartozik. (Hosszan magyarázza a rádiusz szó többesszámának alakjait, amelynek a magyarban nincs jelentősége.) Ez a körív tehát π/2 sugár hosszúságú, és egy π/2 radián szög tartozik hozzá. Csinálhatunk egy másikat, csak hogy teljesen világos legyen. Ha egy teljes kört írsz le, és visszaérsz a pozitív x tengelyhez, mekkora ennek az ívnek a hossza? Itt hirtelen a kör egész kerülete lesz az ív hossza. Ez 2 π r, ami nem más, mint 2 π rádiusz. És azt mondjuk, hogy ehhez az ívhosszhoz az a szög tartozik, amely akkor képződik, ha körbemegyek a körön, és ez 2 π radián. Ebből származtatható minden, ahogy ábrázoljuk a szögfüggvényeket, vagy legalábbis ahogy az x tengelyt beosztjuk. És hatással van az Euler-formulára is, amely szerintem a matematika legszebb összefüggése. Nézzük most át ezeket, hogy átismételjük, mi köze is van ezekhez a π-nek. Ha a szögfüggvényeinkről van szó, feltételezzük, hogy van egy egységkörünk. Ez az egységkörös definíciója a szögfüggvényeknek, ez az áttekintése az egész kérdéskörnek. Legyen egy egységkörünk, ahol tehát a kör sugara 1. A szögfüggvényeket pedig úgy definiáljuk, hogy bármely Θ szögre cos Θ azt jelenti, hogy milyen messze kell elmozdulnunk, vagy az x koordinátája a köríven lévő pontnak, amely a szöghöz tartozik. Ez tehát a cos Θ. A sin Θ pedig a pont y koordinátája. cos Θ jelenti az x értékét, sin Θ pedig az y-t. Ha ezeket a függvényeket ábrázolni akarod, én most az egyszerűség kedvéért csak a sin Θ-t fogom, de te megpróbálhatod a cos Θ-t is. Ábrázoljuk tehát a sin Θ-t, csináljunk egy fordulatot a sin Θ-val! Fel szoktuk címkézni ‒ ábrázoljuk a szinuszt! Amikor a szög 0, a sin Θ = 0. Hadd rajzoljam be az x és y tengelyeket, ez az y tengely, és ez az x. Tehát amikor a szög 0, itt vagyunk az egységkörön, az y érték 0, szóval sin Θ is az. Hadd rajzoljam le így, ez itt a sin Θ, a szinuszt az y tengely mentén fogom ábrázolni, azt mondjuk, hogy y = sin Θ ezen az ábrán. Aztán megnézhetnénk az egyszerűbb pontokat. Legyen a fok ‒ ha fokban mérjük ‒ 90 fok, vagy ha radiánban, akkor π/2 radián. Mekkora ekkor a sin Θ? 1! Ez egy egységkör, amelynek a sugara 1, tehát amikor a Θ = π/2, akkor sin Θ = 1. Ha ez itt az 1, akkor itt sin Θ = 1. Ha a Θ – itt 180 fokot megyünk, vagy a kör feléig – a Θ egyenlő π-vel. (Hadd csináljam ezt narancssárgával, ezt már használtam.) Itt Θ = π. Amikor Θ = π, az y értéke ebben a pontban megint 0, tehát 0-hoz értünk vissza. Ne feledd, sin Θ-ról beszélünk. Ezután mehetünk tovább le egészen idáig, ahol látod, hogy 270 fok van, vagy úgy is mondhatjuk, hogy 3π/2 radián. Ez a tengely a radiánokat ábrázolja, ez itt 3π/2, a sin Θ az egységkörön az y koordináta, ami itt mínusz 1 lesz. Végül, ha teljesen körbemegyünk a körön, 2 π radiánhoz érünk, és visszajutottunk oda, ahonnan elindultunk, a sin Θ, az y koordináta megint csak 0. És ha összekötöd a pöttyöket ‒ akár több pontot is tehetsz ‒, egy szinuszgörbét látsz, amelyet megrajzoltunk. Ez tehát egy másik alkalmazás. Kérdezheted persze, hogy mire jó mindez, Sal? Nos, azért mutatom meg, és emlékeztetlek ezekre, mert most ugyanezeket megvizsgáljuk egy másik, π-től különböző számmal. Előtte még egy utolsó dolgot akarok csinálni a π-vel. π valóban hatékony, az egyik ok, amiért úgy tűnik, hogy a π-nek valami misztikus ereje van ‒ ezt láttuk a számításokban ‒, az Euler-formula, amelyben 'e' az (iΘ) hatványon = cos Θ + i・sin Θ. Ez már önmagában is őrületes, és ez csak egyike a szédületes formuláknak. De még ennél is elképesztőbb, amikor π-t írunk Θ helyébe, és az Euler-formulában azt kapjuk, hogy 'e' az (i・π) hatványon = mennyi is cos π? cos π = -1, sin π = 0, azaz 0-szor i, így ezt a képletet kapjuk, ami meglehetősen mély. És ha egyetlen képletbe akarjuk rendezni az összes fontos számot, akkor mindkét oldalhoz hozzáadunk 1-et, és ezt kapjuk: 'e' az (iπ) hatványon plusz 1 = 0. Többnyire Euler azonosságnak hívják, ez a legszebb képlet vagy egyenlet a matematikában, és ez valóban nagyon mély összefüggés, egyetlen egyenlőségben szerepelnek az alapvető számok, e, i, π, 1, 0, bár az én esztétikai ízlésem szerint még erősebb lenne, ha itt 1 szerepelne. Ekkor ugyanis azt mondhatnánk, hogy 'e' az (iπ) hatványon, ez a fura képződmény nem más, mint az egység. Ez aztán szuper komoly lenne. Így egy kis csalásnak tűnik, hogy mindkét oldalhoz hozzá kell adni 1-et, hogy azt mondhassuk, most ez az oldal 0. De azért így is elképesztően jó. Most pedig nem ez ellen, hanem egy másik szám mellett akarok érvelni, amely különbözik a π-től. Tegyük világossá, ezek nem az én találmányom, ezt egy sok ember által támogatott mozgalom, a Tau mozgalom inspirálta, ezeknek az embereknek a hatására kezdtem rajta gondolkodni. Az első Bob Palais volt, aki szerint: „A Pi tévedés" (The Pi is wrong). Persze nem azt mondja, hogy a π-t rosszul számolják, egyetért azzal, hogy ez a körkerület és az átfogó hányadosa, ami 3,14159. Ő azonban azt állítja, hogy rossz számmal foglalkozunk. Aztán itt van Michael Hartl „A Kiáltvány a Tauról"-ja (The Tau Manifesto), mindez elérhető online. Ők egy tau nevű szám mellett érvelnek, pontosabban ők nevezték el taunak. Definiálják a taut (τ) – ami persze egy nagyon egyszerű változtatás a π-n. Nem úgy értelmezik, mint a körkerület és az átmérő hányadosát, másképpen a körkerület és a sugár kétszeresének hányadosát. Azt vetik fel, hogy nem lenne-e természetesebb egy olyan számot definiálni, ami a körkerület és a sugár hányadosa? Amint látod, a π ennek a fele. Körkerület/2r ugyanaz, mint körkerület/r fele. Vagyis a pi a fele a tau-nak, vagy τ=2π . Vagy, és biztos vagyok abban, hogy ezt nem kell megjegyezned, én is egész életemben próbáltam a π-t memorizálni, de a τ 6,283185 és ez így megy tovább és tovább, sosem ismétlődve, akárcsak a π. A π kétszerese. Mondhatod persze, hogy Sal, de hiszen itt van a π évezredek óta, miért keltesz zavart ezzel az alapvető számmal kapcsolatban, pláne, miután egész idő alatt azt magyaráztad, hogy a π jelentősége mekkora. Az ő érvük elég jónak látszik, ez pedig az, hogy elegánsabb, ha ezzel a számmal, a τ-val foglalkozunk, mintha a felével tennénk. És hogy ezt belássuk, ismételjük át mindazt, amit eddig csináltunk. Most, hogy hirtelen 2π-vel foglalkozunk π helyett, másképpen szólva τ-val τ/2 helyett, mekkora ez a szög, amit vörössel jelöltünk? Először is nézzük ezt a képletet! Mekkora a kör kerülete sugárban kifejezve? Most azt mondhatjuk, hogy K = τ・r, hiszen τ nem más, mint 2π. A képlet így kicsit szebb lesz, igaz, a πr² viszont egy kicsit csúnyább. Itt mindkét oldal mellett érvelhetünk. De a radián mértéke sokkal érzékletesebb, mert azt mondhatjuk, hogy ez π/2 radián vagy azt is mondhatjuk, hogy π/2 radián ugyanaz, mint τ/4 radián. És honnan vettük ezt? Emlékszel, ha teljesen körbemegyünk a körön, az a kerület. Az ív hossza lesz a kör kerülete, ami τ rádiusz, τ sugárnyi, vagy τ radián, ami ehhez az ívhosszhoz tartozik. Ha teljesen körbemegyek, az τ radián, és ez önmagában érzékletes. Egy fordulat, egy τ radián. Ha csak a negyedét teszed meg, az τ/4 radián lesz. Tehát azért érzékletesebb a τ, mert nem kell ilyen fura átváltásokat csinálnod, hogy osszuk el 2-vel vagy szorozzuk meg 2-vel, hanem egyszerűen amennyi radián van τ-ban kifejezve, pontosan annyi fordulatot teszel a körön. Ha tehát egynegyedet mész körbe, az τ/4 radián. Ha félig mész körbe, az τ/2 radián, ha 3/4-et, az 3τ/4 radián. Ha pedig teljesen körbemész, az τ radián lesz. Ha valaki azt mondja, hogy egy 10τ szöge van, akkor pontosan 10-szer mész körbe. Az egész sokkal érzékletesebb, nem kell végigcsinálnod ezt a kis matekozást, most akkor szorzok vagy osztok 2-vel, amikor radiánba konvertálok a π-t használva. Ha a τ radián terminológiát alkalmazod, az természetesen adódik, egy fordulat egy τ radián. A szinusz függvényt illetően π/2 helyett, ha ránézel egy ilyen ábrára, hol is volt ez az egységkörön? Egynegyedén, vagy a felén? És ez vajon egynegyed? Mindez nyilvánvalóvá válik, ha a τ-t használjuk. π/2 ugyanaz, mint τ/4. π ugyanaz, mint τ/2. 3π/2 ugyanaz, mint 3τ/4 (vagy 3/4 τ), és a teljes fordulat τ. Ha így nézel az egészre, azonnal tudni fogod, hol vagy az egységkörön, az egynegyedénél, a felénél, a háromnegyedénél, vagy teljesen körbementél rajta. Az utolsó dolog, amit a π védelmezői mondanak: – Nézd Sal, épp az imént mutattad meg az egyik legcsodálatosabb matematikai formulát. Hogy viselkedik itt a τ? Próbáljuk ki, és lássuk, mi történik! Vegyük az e (iτ) hatványát, ez cos τ + i・sin τ. Még egyszer gondoljuk végig, mit is jelent ez. τ radián azt jelenti, hogy körbemegyünk az egységkörön. Akkor cos τ – emlékszel, visszaértünk az egységkör kiindulási helyére –, cos τ az 1 lesz. A sin τ pedig 0. Így tehát 'e' az (iτ) hatványon = 1. Most már döntsd el te, melyik esztétikusabb!